مبادئ الرياضيات الهندية: الصفر والنظام العشري والجيب وأشهر العلماء

الرياضيات الهندية من أعرق التقاليد الرياضية في العالم: منها جاء النظام العشري ذو المنازل والأرقام التي نكتب بها اليوم، ومعاملة الصفر والأعداد السالبة أعدادًا، ودالة الجيب. تعرّف على أهم مبادئها وعلمائها، وكيف انتقلت إلى العرب ثم إلى أوروبا.

تاريخ الرياضياتمبادئ الرياضيات الهنديةالصفر، النظام العشري، الجيب والمتسلسلات

خط زمني لأبرز المحطات

الزمن	العالم أو النص	أبرز الإسهامات
نحو 800 – 200 ق.م	«سولبا سوترا» (قواعد الحبل)	قواعد هندسية لبناء المذابح، منها العلاقة بين أضلاع المثلث القائم، وتقريب دقيق لـ√2
نحو القرن 3 ق.م	بينغالا	دراسة التوافيق في أوزان الشعر، وفيها أفكار قريبة من النظام الثنائي ومثلث المعاملات
القرون الأولى للميلاد	مخطوطة بخشالي ونقوش أخرى	استعمال نقطة للدلالة على المنزلة الفارغة في نظام عشري ذي منازل
499 م	آريابهاتا	جداول الجيب، وطرق استخراج الجذر التربيعي والتكعيبي، وقيمة π ≈ 3,1416
628 م	براهماغوبتا	قواعد الحساب بالصفر والأعداد السالبة، وصيغة لحلّ المعادلة من الدرجة الثانية
القرن 7 م	بهاسكارا الأول	تقريب مشهور للجيب بكسر بسيط، وكتابة الأعداد بالنظام العشري مع الصفر
1150 م	بهاسكارا الثاني	كتاب «ليلاوتي» في الحساب، ودراسات في المعادلات وفي التغيّر اللحظي لحركة الكواكب
القرن 14 م	مادهافا ومدرسة كيرالا	متسلسلات غير منتهية للجيب وجيب التمام وπ

النظام العشري ذو المنازل والصفر

أهمّ ما قدّمته الهند هو النظام العشري ذو المنازل: عشرة رموز فقط (0 إلى 9)، وقيمة الرقم تتحدد بمنزلته. ففي العدد 305 يعني الرقم 3 ثلاث مئات، ويحفظ الصفر منزلة العشرات الفارغة.

وقد استعملت حضارات أخرى، مثل بابل، رمزًا للمنزلة الفارغة، لكن علماء الهند هم أول من عامل الصفر عددًا كاملًا تُجرى عليه العمليات. ومن أقدم الأمثلة المؤرّخة بدقة نقش في معبد بمدينة غواليور (876 م) يظهر فيه العدد 270 بصفر مكتوب كدائرة صغيرة.

الأعداد السالبة: «ثروات وديون»

في كتابه «براهما سبوطا سيدهانتا» (628 م) سمّى براهماغوبتا الأعداد الموجبة «ثروات» والسالبة «ديونًا»، ووضع قواعد الحساب بها وبالصفر، وهي نفسها القواعد التي يدرسها التلاميذ اليوم:

بلغة براهماغوبتا	النتيجة	بالرموز الحديثة
ثروة + دَين	تساوي الفرق بينهما	5 + (−3) = 2
دَين × دَين	ثروة	(−2) × (−3) = 6
ثروة × دَين	دَين	4 × (−3) = −12
عدد + صفر	العدد نفسه	5 + 0 = 5
عدد × صفر	صفر	7 × 0 = 0
صفر − دَين	ثروة	0 − (−4) = 4

ملاحظة: أخطأ براهماغوبتا في حالة واحدة حين قال إن 0 ÷ 0 = 0. ونعرف اليوم أن القسمة على الصفر غير معرّفة.

المعادلات

أعطى براهماغوبتا قاعدة لحلّ المعادلة ax² + bx = c، تعادل بالرموز الحديثة:

x = ( √(4ac + b²) − b ) ÷ (2a)

مثال: المعادلة x² + 10x = 39، فيها a = 1 وb = 10 وc = 39:

x = ( √(156 + 100) − 10 ) ÷ 2 = (16 − 10) ÷ 2 = 3

ودرس أيضًا معادلات بحلول صحيحة، مثل x² − 92y² = 1، وطوّر بهاسكارا الثاني بعده طريقة عامة لها.

الجيب وحساب المثلثات

كان اليونان يحسبون بـالوتر، فاستعمل الفلكيون الهنود نصف الوتر لأنه أنسب للحساب، وهو ما نسمّيه اليوم الجيب (sin). وقد وضع آريابهاتا جدولًا للجيب. وكلمة «جيب» نفسها جاءت من الكلمة السنسكريتية جيا عبر العربية، ثم تُرجمت إلى اللاتينية بـsinus.

الجذور والتقريب

شرح آريابهاتا طرقًا منهجية لاستخراج الجذر التربيعي والتكعيبي رقمًا بعد رقم. وقبله بقرون، أعطت «سولبا سوترا» تقريبًا مدهشًا لقطر مربع ضلعه 1:

√2 ≈ 1 + 1/3 + 1/(3×4) − 1/(3×4×34) ≈ 1,4142157

والقيمة الحقيقية √2 = 1,4142136…، أي أن التقريب صحيح حتى خمسة أرقام بعد الفاصل.

مدرسة كيرالا: π بمتسلسلة لا تنتهي

في القرن الرابع عشر اكتشف مادهافا في جنوب الهند أن π يساوي مجموعًا لا ينتهي من الكسور، أي متسلسلة غير منتهية. وقد نُسبت هذه المتسلسلة في أوروبا لاحقًا إلى غريغوري ولايبنتز:

π / 4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − …

جرّب بنفسك: حرّك المؤشر لتغيير عدد الحدود، ولاحظ كيف يقترب المجموع من π.

عدد الحدود: 10

ستلاحظ أن المتسلسلة تقترب ببطء: نحتاج إلى مئات الحدود للحصول على ثلاثة أرقام صحيحة. لذلك طوّر مادهافا تصحيحات ذكية تسرّع الحساب، وحسب بها π بدقة 11 رقمًا عشريًا.

الانتقال إلى العرب ثم إلى أوروبا

القرن 8: تُرجم كتاب لبراهماغوبتا في الفلك إلى العربية في بغداد باسم «السند هند».
القرن 9: شرح الخوارزمي الحساب بالأرقام الهندية في كتابه، فانتشرت في العالم الإسلامي. وتطوّرت أشكالها إلى «الأرقام الغبارية» في المغرب والأندلس، ومنها الأرقام 0، 1، 2، 3… التي نكتبها اليوم.
القرن 11: كتب البيروني كتابه «تحقيق ما للهند» عن علوم الهند ورياضياتها.
القرن 12 – 13: وصلت الأرقام إلى أوروبا عبر الترجمات اللاتينية لكتب الخوارزمي، ثم عبر كتاب فيبوناتشي «كتاب الحساب» (1202) الذي تعلّم الحساب في بجاية.

خاتمة

كل مرة نكتب عددًا أو نجمع عددين نسبيين أو نحسب جيب زاوية، نستعمل أدوات وُلدت في الهند، وطوّرها العلماء العرب والمسلمون، ثم انتقلت إلى العالم كله. فالرياضيات قصة تعاون بين الحضارات.

أسئلة شائعة حول الرياضيات الهندية

ما أهم إسهامات الرياضيات الهندية؟

أهمها النظام العشري ذو المنازل بالأرقام التسعة والصفر، ومعاملة الصفر والأعداد السالبة أعدادًا تُجرى عليها العمليات، ودالة الجيب، وطرق حلّ المعادلات، والمتسلسلات غير المنتهية عند مدرسة كيرالا.

من اخترع الصفر؟

استُعمل رمز للمنزلة الفارغة في حضارات أخرى، مثل بابل، لكن علماء الهند هم أول من عامل الصفر عددًا كاملًا. وقد وضع براهماغوبتا سنة 628 م قواعد الجمع والطرح والضرب بالصفر.

كيف انتقلت الأرقام الهندية إلى العرب ثم إلى أوروبا؟

تُرجم كتاب لبراهماغوبتا إلى العربية في بغداد في القرن الثامن («السند هند»)، ثم شرح الخوارزمي الحساب بالأرقام الهندية في كتابه، ومنه انتقلت إلى أوروبا عبر الترجمات اللاتينية وكتاب فيبوناتشي «كتاب الحساب» سنة 1202.

هل اكتشف علماء الهند التفاضل والتكامل قبل نيوتن؟

ليس بالمعنى الكامل. لكن بهاسكارا الثاني درس التغيّر اللحظي لحركة الكواكب، واكتشف مادهافا ومدرسة كيرالا في القرن الرابع عشر متسلسلات غير منتهية للجيب وجيب التمام والعدد π، وهي نتائج نُسبت لاحقًا إلى علماء أوروبيين.

لماذا نسمّي 1، 2، 3 «أرقامًا عربية»؟

لأن الأوروبيين أخذوها عن العرب، فسمّوها Arabic numerals. أما العرب فسمّوها «الأرقام الهندية» لأنهم أخذوها عن الهند.