قوانين إقليدس: المسلّمات الخمس وأشهر مبرهنات الهندسة الإقليدية

قوانين إقليدس هي المسلّمات والبديهيات التي بنى عليها العالم اليوناني إقليدس هندسته في كتاب «الأصول» نحو سنة 300 ق.م. ومنها استنتج مئات المبرهنات التي ما زلنا ندرسها، مثل مجموع زوايا المثلث وخصائص الزوايا عند قطع مستقيمين متوازيين بقاطع. تعرّف على المسلّمات الخمس وأشهر المبرهنات، وجرّب الزوايا والتوازي بأداة تفاعلية.

الهندسة · تاريخ الرياضياتقوانين إقليدس: أساس الهندسة الإقليديةالمسلّمات الخمس، البديهيات، وأشهر المبرهنات

كتاب «الأصول» ومنهجه

جمع إقليدس في الإسكندرية نحو سنة 300 ق.م معارف الهندسة اليونانية في كتاب «الأصول» (العناصر)، وهو 13 كتابًا تضم 465 قضية. وقد تُرجم إلى العربية في بغداد، وظلّ يُدرّس أكثر من ألفي سنة.

وقيمته الكبرى في منهجه: يبدأ بـتعريفات (النقطة، المستقيم، الزاوية…)، ثم مسلّمات وبديهيات نقبلها دون برهان، ثم يستنتج منها كل شيء آخر بالبرهان. وهذا هو المنهج البديهي الذي تقوم عليه الرياضيات إلى اليوم.

مسلّمات إقليدس الخمس

المسلّمة	نصّها	بلغة اليوم
المسلّمة الأولى	يمكن رسم مستقيم من أي نقطة إلى أي نقطة أخرى.	بنقطتين مختلفتين يمرّ مستقيم وحيد.
المسلّمة الثانية	يمكن مدّ أي قطعة مستقيمة على استقامتها بلا حدود.	المستقيم غير محدود من الجهتين.
المسلّمة الثالثة	يمكن رسم دائرة لأي مركز وأي نصف قطر.	هذا ما نفعله بالمدور.
المسلّمة الرابعة	كل الزوايا القائمة متقايسة.	قيس كل زاوية قائمة 90°.
المسلّمة الخامسة (مسلّمة التوازي)	إذا قطع مستقيم مستقيمين، وكان مجموع الزاويتين الداخليتين في جهة واحدة أصغر من 180°، فإن المستقيمين يتقاطعان في تلك الجهة إذا مُدّا بما يكفي.	صيغة مكافئة: من نقطة خارج مستقيم يمرّ مستقيم وحيد موازٍ له.

المسلّمات الأربع الأولى بسيطة وبديهية، أما الخامسة فهي أطول وأقلّ وضوحًا. لذلك حاول العلماء أكثر من ألفي سنة برهانها انطلاقًا من الأربع الأخرى، ومنهم ثابت بن قرّة وابن الهيثم وعمر الخيّام، ولم ينجح أحد.

البديهيات العامة

إلى جانب المسلّمات الخاصة بالهندسة، وضع إقليدس خمس «بديهيات عامة» تصلح لكل المقادير:

الأشياء التي تساوي شيئًا واحدًا متساوية فيما بينها.
إذا أضفنا أشياء متساوية إلى أشياء متساوية كانت النتائج متساوية.
إذا طرحنا أشياء متساوية من أشياء متساوية كانت البواقي متساوية.
الأشياء التي تنطبق إحداها على الأخرى متساوية.
الكلّ أكبر من الجزء.

أشهر المبرهنات في «الأصول»

انطلاقًا من المسلّمات والبديهيات، برهن إقليدس مبرهنات كثيرة يدرسها التلاميذ اليوم:

المبرهنة	نصّها	موضعها
مجموع زوايا المثلث	مجموع قيس زوايا كل مثلث يساوي 180°. وهي تعتمد على المسلّمة الخامسة.	الأصول، الكتاب 1، القضية 32
الزوايا المتماثلة والمتبادلة داخليًا	إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين، فإن كل زاويتين متماثلتين متقايستان، وكل زاويتين متبادلتين داخليًا متقايستان.	الكتاب 1، القضية 29
عكسها: إثبات التوازي	إذا كانت زاويتان متبادلتان داخليًا متقايستين، أو زاويتان داخليتان في جهة واحدة متكاملتين (مجموعهما 180°)، فإن المستقيمين متوازيان.	الكتاب 1، القضيتان 27 و28
المثلث المتقايس الضلعين	زاويتا القاعدة في المثلث المتقايس الضلعين متقايستان.	الكتاب 1، القضية 5
المتباينة المثلثية	طول أي ضلع في المثلث أصغر من مجموع طولي الضلعين الآخرين.	الكتاب 1، القضية 20
مبرهنة فيثاغورس	في المثلث القائم، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين: a² + b² = c².	الكتاب 1، القضية 47
الأعداد الأولية لا تنتهي	لا يوجد عدد أولي أكبر من كل الأعداد الأولية.	الكتاب 9، القضية 20
خوارزمية إقليدس	طريقة لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين بقسمات متتالية.	الكتاب 7، القضية 2

الزوايا والتوازي: جرّب بنفسك

يقطع القاطع (المستقيم الرمادي) المستقيمين (D) و(D'). غيّر ميل القاطع، ثم أمِل المستقيم (D')، ولاحظ متى تتقايس الزوايا.

ميل القاطع: 60°ميل (D'): 0°

النتيجة: الزاويتان المتماثلتان والزاويتان المتبادلتان داخليًا تتقايسان، والزاويتان الداخليتان في جهة واحدة تتكاملان، فقط عندما يكون المستقيمان متوازيين (ميل (D') = 0°). وإذا كان مجموع الزاويتين الداخليتين في جهة أصغر من 180°، فإن المستقيمين يتقاطعان في تلك الجهة، وهذه بالضبط المسلّمة الخامسة!

أين نستعمل هندسة إقليدس؟

العمارة والبناء: حساب الأطوال والزوايا والمساحات والحجوم، والتحقّق من تعامد الجدران وتوازي الأعمدة.
المساحة والخرائط: قيس الأراضي وتحديد المسافات بالمثلثات.
الفيزياء: تحليل القوى والسرعات بالأشعة، ومسارات الأشعة الضوئية في المرايا والعدسات.
الحاسوب: الرسوم ثلاثية الأبعاد وألعاب الفيديو والتصميم بمساعدة الحاسوب.

ماذا بعد إقليدس؟

في القرن التاسع عشر عوّض الرياضيون المسلّمة الخامسة بمسلّمات أخرى، فاكتشفوا هندسات غير إقليدية متماسكة تمامًا:

الهندسة الزائدية (لوباتشيفسكي وبولياي): من نقطة خارج مستقيم يمرّ ما لا نهاية من المستقيمات التي لا تقطعه، ومجموع زوايا المثلث أصغر من 180°.
الهندسة الإهليلجية (ريمان): لا يوجد أي مستقيم موازٍ، كما على سطح الكرة، ومجموع زوايا المثلث أكبر من 180°.
الهندسة التفاضلية: تدرس السطوح والفضاءات المنحنية، وعليها تقوم النسبية العامة لأينشتاين.

لكن هذا لا يعني أن هندسة إقليدس «خاطئة»: فهي الهندسة الأنسب لعالمنا اليومي، وهي التي ندرسها في المدرسة والمعهد.

أسئلة شائعة حول قوانين إقليدس

ما هي مسلّمات إقليدس الخمس؟

1) يمكن رسم مستقيم بين أي نقطتين. 2) يمكن مدّ القطعة المستقيمة بلا حدود. 3) يمكن رسم دائرة لأي مركز وأي نصف قطر. 4) كل الزوايا القائمة متقايسة. 5) مسلّمة التوازي: إذا كان مجموع زاويتين داخليتين في جهة واحدة أصغر من 180° تقاطع المستقيمان في تلك الجهة.

ما الفرق بين المسلّمة والمبرهنة؟

المسلّمة قضية نقبلها دون برهان لننطلق منها، أما المبرهنة فقضية نبرهن عليها انطلاقًا من المسلّمات والمبرهنات السابقة.

هل الزوايا المتماثلة متقايسة دائمًا؟

لا، تكون الزوايا المتماثلة والمتبادلة داخليًا متقايسة فقط إذا كان المستقيمان اللذان يقطعهما القاطع متوازيين. والعكس صحيح أيضًا: إذا تقايست زاويتان متماثلتان كان المستقيمان متوازيين.

لماذا المسلّمة الخامسة مشهورة؟

لأنها أطول وأقلّ بداهة من الأربع الأخرى، فحاول الرياضيون أكثر من ألفي سنة برهانها انطلاقًا من الأربع الأخرى. ثم اكتشفوا في القرن التاسع عشر أن ذلك مستحيل، وأن تعويضها بمسلّمة أخرى يعطي هندسات جديدة غير إقليدية.

كم عدد كتب «الأصول» لإقليدس؟

يتكوّن كتاب «الأصول» من 13 كتابًا (جزءًا) تضم 465 قضية في الهندسة المستوية والفضائية ونظرية الأعداد.