التعامد والتوازي – 7 أساسي – درس تفاعلي مع أشكال هندسية وأسئلة MCQ

هذا الدرس مأخوذ من كتاب الرياضيات المدرسي للسنة السابعة أساسي (الصفحات 133–143)، ويتناول الموسّط العمودي لقطعة مستقيم، وخاصيّات التعامد والتوازي، وبعد نقطة عن مستقيم، والوضعيّة النسبيّة لدائرة ومستقيم.

• أنجز الأنشطة على كرّاسك بأدواتك الهندسيّة كما يطلب الكتاب.

• في الأشكال التفاعليّة اسحب النقاط البرتقاليّة بالفأرة أو بالإصبع ولاحظ كيف تتغيّر الأبعاد.

• في الأمثلة المحلولة اضغط «الخطوة التالية» لتظهر خطوات الحلّ واحدة بعد أخرى.

• أجب عن أسئلة الاختيار من متعدد لتتحقّق من فهمك فورًا.

I. الموسّط العمودي لقطعة مستقيم

II. خاصيّات التّعامد والتّوازي

III. بعد نقطة عن مستقيم

IV. الوضعيّة النّسبيّة لدائرة ومستقيم

لاحظ الرّسمين التّاليين.

حدّد الموسّط العمودي لكلّ قطعة من القطع التّالية . [EF] و [GH] و [DC] و [AB] علّل جوابك.

لاحظ الرّسم التّالي ثمّ انقله :

أ) ماذا يمثّل المستقيم Δ بالنّسبة إلى قطعة المستقيم [AB] ؟ علّل جوابك.

ب) قارن البعدين CA وCB ثم قارن EA وEB.

ج) عيّن نقطة D متساوية البعد عن A و B .

د) عين نقطة F بحيث FA≠​FB

ه) ماذا تستنتج ؟

الموسّط العمودي لقطعة مستقيم هو مجموعة نقاط المستوي المتساوية البعد عن طرفي القطعة

D متساوية البعد عن A وB

يعني

DB=​DA

في الرّسم المقابل AB=​5 cm

M و N هما نقطتا تقاطع الدّائرة الّتي مركزها A وشعاعها 3 cm والدّائرة الّتي مركزها B وشعاعها 3 cm

1) أ) ما هي بالصنتمتر الأبعاد MA و MB و NA و NB ؟

ب) ماذا يمثّل المستقيم (MN) بالنّسبة إلى القطعة [AB]

ج) حدّد النّقطة I منتصف [AB]

2) أعد رسم قطعة المستقيم [AB] ثمّ ابن موسّطها العمودي بواسطة نقطتين M و N من نفس الجهة بالنسبة إلى المستقيم (AB)

الرّسم المقابل يمثّل مسارا لكرة في لعبة «البليار» (biliard)

احسب طول هذا المسار.

احسب محيط الرّباعي ABCD بدون استعمال أدوات القيس.

في الرّسم أسفله IB=​4,3 cm و Δ هو الموسّط العمودي لـ [AB] حيث النّقطة A لا تظهر في الرّسم.

احسب البعد AM إذا علمت أنّ IM=​0,8 cm

التّعليمة : نريد بناء مستقيم عموديّ على مستقيم مقدّم ويمرّ من نقطة معلومة M

1) النّقطة M تنتمي إلى Δ .

أ) ارسم قطعة مستقيم منتصفها M ثمّ ابن موسّطها العمودي.

ب) استنتج كيفيّة البناء المطلوب.

2) النّقطة M لا تنتمي إلى Δ .

أ) ارسم دائرة مركزها M وتقطع Δ في نقطتين A وB . ابن الموسّط العمودي للقطعة [AB]

ج) استنتج كيفيّة البناء المطلوب.

يوجد مستقيم واحد يمرّ من نقطة معلومة وعمودي على مستقيم مقدّم

إذا كان Δ مستقيما عموديا على مستقيم Δ′ نكتب Δ⊥Δ′

ارسم مستقيما D وعيّن نقطة A لا تنتمي إلى D ابن المستقيم Δ المارّ من A والعمودي على D ثمّ ارسم المستقيم D′ المارّ من A والعمودي على Δ . ما هي الوضعيّة النّسبيّة لـ D و D′ ؟

مستقيمان يعامدان نفس المستقيم هما متوازيان

إذا كان D و D′ مستقيمين متوازيين نكتب D′//D

التّعليمة : نريد بناء مستقيم Δ₁ موازٍ لـ مستقيم مقدّم Δ ويمرّ من نقطة معلومة M

1) النّقطة M تنتمي إلى Δ

2) النّقطة M لا تنتمي إلى Δ

أ) ارسم دائرة مركزها M وتقطع Δ في نقطتين A و B

ب) ابن الموسّط العمودي D للقطعة [AB]

ج) ابن المستقيم Δ₁ المارّ من M والعمودي على D

د) استنتج كيفيّة البناء المطلوب.

مستقيمان منطبقان هما متوازيان

يوجد مستقيم واحد يمرّ من نقطة معلومة

ومواز لمستقيم مقدّم

أ) ابن شبه منحرف ABCD حيث [AB] هي إحدى قاعدتيه.

ب) ابن المستقيم Δ الموسّط العمودي لـ [DC]

ج) ما هي الوضعيّة النسبيّة للمستقيمين Δ و (AB) ؟

أ) ارسم دائرة (C) مركزها O و [AB] قطر لها.

ب) ابن المستقيم Δ العمودي على [AB] في A والمستقيم Δ′ العمودي على [AB] في B

ج) ما هي الوضعيّة النّسبيّة لـ Δ و Δ′ ؟

انقل الرّسم أسفله حيث (MH) هو الموسّط العمودي لـ [BC]

أ) ارسم الدّائرتين اللّتين مركزهما M وتمرّان على التّوالي من A و B

ب) انقل ما يلي ثم أكمل بـ < أو > أو =

MH…MA ، MH…MB ، MH…MC

– البعد MH يسمّى بعد النّقطة M عن المستقيم Δ وهو أصغر الأبعاد بين M وأيّ نقطة من Δ

– النّقطة H تسمّى المسقط العمودي للنّقطة M على Δ

أ) ارسم مستقيما Δ وابن نقطة A تبعد 2 cm عن Δ

ب) ابن المستقيم D الموازي لـ Δ والمارّ من A وعيّن عليه نقطة M

ما هو بعد النّقطة M عن المستقيم Δ ؟ ماذا تستنتج ؟

البعد بين مستقيمين متوازيين هو البعد بين نقطة من أحدهما والمستقيم الآخر

أيّ المستقيمين Δ₁ و Δ₂ أقرب إليه النّقطة A ؟

(انظر الشكل في الكتاب ص 138)

الرّسم المقدم أسفله هو مشهد من فوق لخزّان ومحرّك لضخ الماء ممثّل بعلامة (x) على هذا التصميم 1 mm يوافق 1 m .

أعط قيمة تقريبية بالمتر للطول الملائم للأنبوب الذي يصل بين حافّة مجرى الماء والمحرك.

(انظر الشكل في الكتاب ص 138 : الخزّان والمحرّك فوق مجرى الماء.)

لاحظ الشّكل التّالي حيث Δ′//Δ والبعد بينهما 2,9 cm

قارن مساحتي المثلّثين ABC و EBC

لاحظ الرّسوم التالية :

أ) قارن في كلّ وضعيّة بين شعاع الدّائرة C وبعد مركزها O عن المستقيم Δ .

ب) حدّد في كلّ وضعيّة عدد النّقاط المشتركة لـ Δ وC

ارسم دائرة C مركزها O وعيّن عليها نقطة A .

أ) ابن المستقيم Δ العمودي على (OA) في A

ب) ما هي الوضعيّة النّسبيّة للمستقيم Δ والدّائرة C ؟

المماسّ لدائرة في نقطة منها هو المستقيم العمودي على شعاعها في تلك النّقطة.

C هي دائرة مركزها A وشعاعها 2 cm و Δ مستقيم و B المسقط العمودي للنّقطة A على Δ

حدّد الوضعيّة النّسبيّة للدّائرة C والمستقيم Δ في كلّ حالة

أ) AB=​2 cm ب) AB=​2,4 cm ج) AB=​1,8 cm

حدّد الوضعيّة النّسبيّة للدّائرة C والمستقيم Δ في كلّ من الرّسمين التّاليين.

(انظر الشكلين في الكتاب ص 140)

في الرّسم المقابل، لدينا :

– CB=​6 cm

– C هي دائرة شعاعها 1,5 cm و (BC) مماسّ لها في النّقطة I

احسب مساحة المثلث ABC

(انظر الشكل في الكتاب ص 140 : دائرة (C) مركزها A، والمثلث ABC، و(BC) يمسّ الدائرة في I.)

I منتصف [AB] يعني

(IA=​IB) و (I و A و B على استقامة واحدة)

الموسّط العمودي لقطعة مستقيم هو مجموعة نقاط المستوي المتساوية البعد عن طرفي القطعة

يوجد مستقيم واحد يمرّ من نقطة معلومة وعمودي على مستقيم مقدّم

مستقيمان يعامدان نفس المستقيم هما متوازيان

– إذا كان مستقيمان متوازيين فإنّ كلّ مستقيم عمودي على أحدهما يعامد الآخر

– إذا كان مستقيمان متعامدين فإنّ كلّ مستقيم مواز لأحدهما يعامد الآخر

– إذا كان مستقيمان متوازيين فإنّ كلّ مستقيم مواز لأحدهما يوازي الآخر

يوجد مستقيم واحد يمرّ من نقطة معلومة ومواز لمستقيم مقدّم

إذا كان مستقيمان متوازيين فإنّ كلّ مستقيم مقاطع لأحدهما يقاطع الآخر.

– البعد MH يسمّى بعد النّقطة M عن المستقيم Δ وهو أصغر الأبعاد بين M وأيّ نقطة من Δ

– النّقطة H تسمّى المسقط العمودي للنّقطة M على Δ

البعد بين مستقيمين متوازيين هو البعد بين نقطة من أحدهما والمستقيم الآخر

المماسّ لدائرة في نقطة منها هو المستقيم العمودي على شعاعها في تلك النّقطة.

اذكر الحالات التي فيها (AC) هو الموسّط العمودي لـ [BD] معلّلا جوابك.

(انظر الأشكال الأربعة في الكتاب ص 142)

انقل على كرّاسك ثمّ ابن النّقطة D بحيث يكون Δ الموسّط العمودي لـ [AD] .

(انظر الشكل في الكتاب ص 142)

انقل على كرّاسك ثمّ ابن نقطة من المستقيم Δ تكون متساوية البعد عن A و B .

(انظر الشكل في الكتاب ص 142)

تأمّل الرّسم التّالي :

(انظر الشكل في الكتاب ص 142 : النقاط A وB وI وC وD على استقامة واحدة بهذا الترتيب، وΔ عمودي عليها في I، وM نقطة من Δ مع MA=​MD و IB=​IC.)

أ) أثبت أنّ Δ هو الموسّط العمودي لـ [BC] ولـ [AD] .

ب) احسب AB و AD إذا علمت أنّ AC=​4,5 cm و BC=​2,6 cm

أ) انقل الرّسم على كرّاسك ثم ابن النّقطة H المسقط العمودي لـ A على Δ₁ والنّقطة K المسقط العمودي لـ A على Δ .

ب) اعط بالصنتمتر قيمة تقريبيّة لبعد النّقطة A عن كلّ من المستقيمين Δ و Δ₁ .

(انظر الشكل في الكتاب ص 142)

شارك عليّ وصالح في إنجاز مشروع لجلب المياه من البحيرة المجاورة بواسطة مضخّة حدّد المكان المناسب لوضع المضخّة على ضفاف البحيرة.

(انظر الشكل في الكتاب ص 142 : منزلا عليّ وصالح A وB وضفّة البحيرة.)

لاحظ الرّسم التّالي :

(انظر الشكل في الكتاب ص 143 : رباعي ABCD، و(AD) و(BC) عموديّان على المستقيم Δ في D وC.)

1) ما هي الوضعيّة النّسبيّة للمستقيمين (BC) و (AD) ؟ علّل جوابك.

2) استنتج طبيعة الرباعي ABCD .

انقل الرّسم على كرّاسك ثمّ عيّن أقرب نقطة من الدّائرة إلى المستقيم Δ .

(انظر الشكل في الكتاب ص 143)

1) ارسم دائرة C مركزها O وعيّن عليها نقطتين A و I بحيث (OA) عمودي على (OI).

2) أ) ابن المستقيم Δ المماسّ لـ C في A و Δ′ المماسّ لـ C في I.

ب) ما هي الوضعيّة الذّ سبية لـ Δ و (OI) ؟

ج) أثبت أنّ Δ⊥Δ′.

لاحظ الرّسم أسفله حيث ABCD هو مستطيل أبعاده 12 cm و 9 cm

(انظر الشكل في الكتاب ص 143 : AB=​12 cm، N على [AD] مع AN=​2 cm، M على [BC] مع BM=​6 cm.)

أ) احسب مساحة المثلث MND بالصنتمتر مربّع (cm²)

ب) احسب مساحة شبه المنحرف ANCM

1) ارسم مستطيلا ABCD حيث AB=​5 cm و AD=​3 cm وارسم الدّائرة C التي مركزها A وشعاعها 3 cm .

2) ما هي الوضعيّة النّسبيّة للدّائرة C وكلّ من المستقيمين (DC) و (BC) ؟

3) أ) عيّن النّقطة H المسقط العمودي للنّقطة A على (BD)

ب) قارن البعدين AD و AH

ج) استنتج الوضعيّة النّسبيّة للدّائرة C والمستقيم (BD).