مبرهنة طالس وتطبيقاتها – 9 أساسي – درس تفاعلي بأشكال هندسية وألعاب

ليكن ABC مثلثا وD منتصف [AB].

بين أن المثلثين ADC وBDC لهما نفس المساحة.

تأمل الرسم المجاور

(انظر الشكل في الكتاب ص 148 : مثلث ABC قائم في C ، BC=​5 cm ، CD=​3 cm ، CA=​10 cm .)

1- احسب S' مساحة المثلث ABD وS مساحة المثلث ABC.

2- احسب ثم قارن S′S و ADAC

1- ارسم مثلثا ABC حيث AB=​8 cm و AC=​4 cm و BC=​6 cm.

2- أ- عين نقطة M من المستقيم (AB) حيث AM=​3 cm

ب- المستقيم المار من M والموازي لـــ (BC) يقطع (AC) في N.

باستعمال مسطرة مدرّجة، حدد البعدين AN وMN.

ج- باستعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة التقريبية للأعداد التالية : AMAB و ANAC و MNBC .

تأمل الرسم المجاور حيث H المسقط العمودي لـــ C على (AB).

لتكن S₁ مساحة المثلث ADC. وS₂ مساحة المثلث ABC

1- احسب S₁ و S₂.

2- استنتج أن : S₁S₂=​ADAB

ليكن ABC مثلثا. مهما تكن النقطة D من المستقيم (AB) مخالفة لـــ A فإن :

مساحة المثلث ADC ومساحة المثلث ABC متناسبتان مع AD وAB

أي S₁S₂=​ADAB

حيث S₁ مساحة المثلث ADC. و S₂ مساحة المثلث ABC

ليكن ABC مثلثا وD نقطة من قطعة المستقيم [AB] و E نقطة من قطعة المستقيم [AC] بحيث (DE) مواز لـــ (BC)

1- بيّن أنّ المثلثين BDE وCDE لهما نفس المساحة.

2- استنتج أنّ مساحتي المثلثين ABE وADC متساويتان.

3- استنتج أنّ : ADAB=​AEAC

4- المستقيم المارّ من E والموازي لـــ (AB) يقطع (BC) في F.

أ- بيّن أنّ : AEAC=​BFBC

ب- استنتج أنّ AEAC=​DEBC وأنّ ADAB=​AEAC=​DEBC

ارسم مثلثا ABC وعين نقطة D من (AB) لا تنتمي إلى [AB].

المستقيم المار من D والموازي لـــ (BC) يقطع (AC) في E.

بين أن : ABAD=​ACAE=​BCDE

استنتج أن : ADAB=​AEAC=​DEBC

ارسم مثلثا ABC وعيّن نقطة D من (BA) لا تنتمي إلى [AB] .

المستقيم المارّ من D والموازي لـــ (BC) يقطع (AC) في E.

لتكن D' مناظرة D بالنسبة للنقطة A و E' مناظرة E بالنسبة لـــ A

بيّن أن : (BC)//(D′E′)

استنتج أن : AD′AB=​AE′AC=​D′E′BC

استنتج أن : ADAB=​AEAC=​DEBC

ليكن ABC مثلثا. إذا كانت D نقطة من (AB) وE نقطة من (AC) بحيث (DE) مواز لـــ (BC) فإن : ADAB=​AEAC=​DEBC

ليكن ABC مثلثا حيث AB=​4cm و BC=​6 cm و AC=​5cm ولتكن : M نقطة من [AB] حيث AM=​3cm. المستقيم الموازي لـــ (BC) والمار من M يقطع (AC) في N.

احسب MN و NC.

في الرسم المجاور (MN) مواز لـــ (BC) و AB=​2,5cm و BM=​2cm و AN=​6cm. احسب AC

(انظر الشكل في الكتاب ص 150 : B بين A وM ، و C بين A وN .)

في الرسم المجاور، (BC)//(MN) و AB=​6cm و AC=​3cm و AN=​2cm و MN=​1,5cm.

احسب BC وAM.

(انظر الشكل في الكتاب ص 150 : وضعيّة الفراشة، A بين B وM وبين C وN .)

تأمل الرسم المجاور حيث D منتصف [AB] وΔ المستقيم المار من D والموازي لـــ (BC). Δ يقطع (AC) في E.

بين أن E منتصف [AC]

في كل مثلث المستقيم المار من منتصف ضلع والموازي لحامل ضلع آخر يمر من منتصف الضلع الثالث.

نعتبر مثلثا ABC. لتكن D منتصف [AB] و E منتصف [AC].

1- بين أن : ADAB=​AEAC .

2- المستقيم الموازي لـــ (BC) والمار من D يقطع (AC) في K.

أ- بين أن ADAB=​AKAC=​DKBC .

ب- استنتج أن النقطتين E وK متطابقتان وأن (DE) مواز لـــ (BC)

3- بين أن : DE=​12BC

في كل مثلث، المستقيم المار من منتصفي ضلعين يوازي حامل الضلع الثالث وقيس طول قطعة المستقيم الرابطة بين المنتصفين يساوي نصف قيس طول الضلع الثالث.

إذا كان E منتصف [AC] و D منتصف [AB] فإن (DE)//(BC) و DE=​12BC

تأمل الرسم المجاور حيث BI=​IJ=​JK=​KC

المستقيم المار من I والموازي لـــ (AJ) يقطع (AB) في M.

المستقيم المار من K والموازي لـــ (AJ) يقطع (AC) في N.

بيّن أنّ (MN) مواز لـــ (BC) وأنّ : MN=​12BC

نعتبر شبه منحرف ABCD قاعدتاه [AB] و [CD]. لتكن I منتصف [AD] وJ منتصف[BC] .

المستقيمان (AC) و (IJ) يتقاطعان في النقطة P.

1- بين أن P منتصف [AC].

2- بين أن : أ- IP=​12DC و (IP) مواز لـــ (AB)

ب- JP=​12AB و (JP) مواز لـــ (AB).

3- استنتج أن : IJ=​12(AB+​CD) وأن (IJ) مواز لـــ (AB)

(مبرهنة طالس في شبه المنحرف)

إذا كان ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD]، و I منتصف [AD] و J منتصف [BC] فإن : (IJ) مواز لـــ (AB) و IJ=​12(AB+​CD)

تأمّل الرسم المجاور حيث ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD].

(انظر الشكل في الكتاب ص 152 : AB=​3cm و DC=​5cm ، I منتصف [AD] و J منتصف [BC] .)

احسب IJ

في الرسم المجاور، المستقيمات (AA') و (BB') و (CC') متوازية.

1- ارسم المستقيم Δ'' المار من A والموازي لـــ Δ'. هذا المستقيم يقطع (BB') في D و(CC') في E.

بيّن أنّ : ABAC=​ADAE=​BDCE

2- استنتج أنّ : ABAC=​A′B′A′C′

وأنّ : ABA′B′=​ACA′C′=​BCB′C′

ليكن Δ وΔ' مستقيمين وA وB و C ثلاث نقط مختلفة من Δ.

إذا كانت A' وB' وC' مساقط A وB وC على Δ' وفقا لمنحى مخالف لمنحى Δ ولمنحى Δ' على التوالي، فإن :

1- ABAC=​A′B′A′C′

2- ABA′B′=​ACA′C′=​BCB′C′

يعني أن AB وAC وBC متناسبة طردا مع A'B' وA'C' و B'C'

في الرسم المجاور :

المستقيمات (AA') و (BB') و (CC') متوازية

حيث AB=​2cm و BC=​3cm و A′B′=​2,4cm .

احسب B'C'

تأمّل الرسم المجاور حيث D منتصف [AB] والمستقيمات (AA') و (DD') و (BB') متوازية

بين أن D' هو منتصف [A′B′]

إذا كانت النقطتان A' وB' مسقطي A وB على التوالي على مستقيم Δ وفقا لمنحى Δ' فإن مسقط منتصف [AB] على Δ وفقا لمنحى Δ' هو منتصف [A′B′]

إذا كان D منتصف [AB] ، فإن مسقط النقطة D هو منتصف [A′B′]

نقول أن الإسقاط يحافظ على المنتصف.

لتكن [AB] قطعة مستقيم حيث AB=​5 cm

1- ارسم نصف مستقيم [Ax) بحيث المستقيم الحامل لـــ [Ax) مخالف لـــ (AB) ثم عين عليه ثلاث نقط M وN و P بحيث AM=​MN=​NP

2- ارسم المستقيم (BP).

ارسم مستقيمين موازيين لـــ (BP)، الأول يمر من M والثاني يمر من N.

هذان المستقيمان يقطعان [AB] في M' وN'.

بين أن : AM′=​M′N′=​N′B

نقول أننا جزأنا [AB] إلى ثلاثة أجزاء متقايسة

لتجزئة قطعة مستقيم [AB] إلى أجزاء متقايسة :

1) نرسم نصف مستقيم [Ax) بحيث المستقيم الحامل لـــ [Ax) مخالف لـــ (AB).

2) نرسم على [Ax) نقطا متتالية ومتساوية البعد بعدد الأجزاء المطلوبة AM=​MN=​NP=​…

ثم نرسم المستقيم Δ المار من B وآخر نقطة مرسومة على[Ax)

3) نرسم المستقيمات الموازية لـــ Δ والمارة من النقط المعينة على [Ax) هذه المستقيمات تقسم [AB] إلى أجزاء متقايسة.

قسّم قطعة مستقيم طولها 7 cm إلى خمسة أجزاء متقايسة

نعتبر قطعة مستقيم [AB] .

1- جزّئ [AB] إلى خمسة أجزاء متقايسة.

2- عيّن النقطة M من [AB] حيث AM=​35AB

لبناء النقطة M من قطعة المستقيم [AB] حيث AM=​nmAB و n وm عددان صحيحان طبيعيان.

(n<​m) نقسم [AB] إلى m أجزاء متقايسة ثم نعين النقطة M حيث M تبعد n أجزاء عن A.

لتكن [AB] قطعة مستقيم.

أ- جزّئ [AB] إلى خمسة أجزاء متقايسة.

ب- عين النقطة M من [AB] حيث AM2=​MB3

ج- بين أن : AM2=​BM3=​AB5

نقول أننا جزأنا [AB] إلى جزأين (AM و BM) متناسبين مع 2 و3.

أ- ارسم قطعة مستقيم [AB] ثم قسّمها إلى سبعة أجزاء متقايسة

ب- عين النقطة M من [AB] حيث AM3=​MB4

أنقل الرسم المجاور على كراسك ثم أكمله

1- المستقيم المار من E والموازي لـــ (BF) يقطع (AB) في M.

بين أن : AM=​57AB و MAMB=​52

2- المستقيم المار من F والموازي لـــ (BE) يقطع (AB) في N.

بين أن : AN=​75AB و NANB=​72

أ- ارسم قطعة مستقيم [MN] حيث MN=​8 cm وجزّئها إلى اثني عشر جزءا متقايسا.

ب- عين النقطتين P وQ من [MN] حيث MP2=​PQ3=​QN7

ج- احسب MP وPQ وQN. نقول أننا جزأنا [MN] إلى ثلاثة أجزاء متناسبة مع 2 و3 و7

نعتبر مثلثا ABC قائم الزاوية في A و I منتصف وتره [BC]

1- ابنِ الموسط العمودي Δ للقطعة [AB] ثم بين أن Δ يمر من النقطة I

2- استنتج أن IA=​IB=​IC

في المثلث القائم منتصف الوتر متساوي البعد عن الرؤوس الثلاثة وقيس طول الموسط الصادر من رأس الزاوية القائمة يساوي نصف قيس طول الوتر

إذا كان ABC مثلثا قائم الزاوية في A و I منتصف وتره [BC] فإن : IA=​IB=​IC

مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم الزاوية هو منتصف وتره

نعتبر مثلثا ABC و I منتصف [BC] حيث IA=​IB=​IC

1- بين أن IAB=​IBA و IAC=​ICA

2- استنتج أن المثلث ABC قائم الزاوية في A.

كل مثلث يكون منتصف أحد أضلاعه متساوي البعد عن رؤوسه الثلاثة هو مثلث قائم الزاوية ووتره الضلع المذكور.

إذا كان ABC مثلثا وI منتصف ضلعه [BC] حيث IA=​IB=​IC فإنّه مثلث قائم الزاوية في A ووتره الضلع [BC].

ليكن OBC مثلثا متقايس الضلعين قمته الرئيسية O.

1- ابنِ النقطة A مناظرة النقطة B بالنسبة إلى O.

2- بين أن المثلث ABC قائم الزاوية.

ليكن ABC مثلثا و I و J منتصفي [AB] و [AC] على التوالي.

1- بين أن (IJ)//(BC) و IJ=​BC2 .

2- لتكن G نقطة تقاطع [BJ] و[CI]، ماذا تمثل G بالنسبة للمثلث ABC ؟

3- لتكن M و N منتصفي [BG] و[CG] على التوالي. بين أن الرباعي IJNM متوازي الأضلاع.

4- بين أن BG=​23BJ وأن CG=​23CI .

5- لتكن K منتصف [BC]. بيّن أن AG=​23AK.

في كل مثلث يقع مركز الثقل عند ثلثي الموسط انطلاقا من الرأس وعند ثلث الموسط انطلاقا من منتصف الضلع.

إذا كان ABC مثلثا و I و J و K منتصفات [AB] و[AC] و[BC] على التوالي و G مركز ثقله فإن AG=​23AK و BG=​23BJ و CG=​23CI

ليكن ABC مثلثا متقايس الأضلاع حيث AB=​6 و H المسقط العمودي للنقطة A على (BC) و D مناظرة B بالنسبة إلى A و G نقطة تقاطع (AC) و (DH). احسب CG و AG.

1- ارسم مثلثا ABC قائم الزاوية في A حيث AB=​6 و AC=​4.

2- عين على [AB] النقطة E حيث AE=​2 ثم ابنِ النقطة D مناظرة C بالنسبة إلى A.

3- بين أن المستقيم (CE) يقطع قطعة المستقيم [BD] في منتصفها.

• ليكن ABC مثلثا. مهما تكن النقطة D من قطعة المستقيم [AB] مخالفة لـــ A فإن : مساحة المثلث ADC ومساحة المثلث ABC متناسبتان مع AD وAB أي : S₁S₂=​ADAB حيث S₁ مساحة المثلث ADC و S₂ مساحة المثلث ABC

• ليكن ABC مثلثا. إذا كانت D نقطة من (AB) وE نقطة من (AC) بحيث (DE) مواز لـــ (BC) فإن : ADAB=​AEAC=​DEBC

• في كل مثلث المستقيم المار من منتصف ضلع والموازي لحامل ضلع آخر يمر من منتصف الضلع الثالث .

• إذا كان E منتصف [AC] و D منتصف [AB] فإن (DE)//(BC) و DE=​12BC

• إذا كان ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD]، و I منتصف [AD] و J منتصف [BC] فإن : (IJ) مواز لـــ (AB) و IJ=​12(AB+​CD)

• ليكن Δ وΔ' مستقيمين وA و B وC ثلاث نقط مختلفة من Δ. إذا كانت A' وB' وC' مساقط A وB وC على Δ' وفقا لمنحى مخالف لمنحى Δ ولمنحى Δ' على التوالي، فإن : ABA′B′=​ACA′C′=​BCB′C′ و ABAC=​A′B′A′C′

• إذا كانت A' و B' مسقطي A و B على التوالي على مستقيم Δ وفقا لمنحى Δ' فإن مسقط منتصف [AB] على Δ وفقا لمنحى Δ' هو منتصف [A′B′]

• لتجزئة قطعة مستقيم [AB] إلى أجزاء متقايسة : نرسم نصف مستقيم [Ax) بحيث المستقيم الحامل لـــ [Ax) مخالف لـــ (AB)، ونرسم على [Ax) نقطا متتالية ومتساوية البعد بعدد الأجزاء المطالب بها، ثم نرسم المستقيم Δ المار من B وآخر نقطة رسمت على[Ax)، ثمّ نرسم المستقيمات الموازية لـــ Δ والمارة من النقط المعينة على [Ax)

• لبناء نقطة M من قطعة المستقيم [AB] حيث AM=​nmAB و n وm عددان صحيحان طبيعيان (n<​m) نقسم [AB] إلى m أجزاء متقايسة ثم نعين النقطة M حيث M تبعد n أجزاء عن A .

• في كل مثلث يقع مركز الثقل عند ثلثي الموسط انطلاقا من الرأس وعند ثلث الموسط انطلاقا من منتصف الضلع

• في المثلث القائم منتصف الوتر متساوي البعد عن الرؤوس الثلاثة. • مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم الزاوية هو منتصف وتره

• إذا كان منتصف ضلع مثلث متساوي البعد عن رؤوسه فإن هذا المثلث قائم الزاوية ووتره الضلع المذكور.

أجب بـــــ "صحيح " أو "خطأ " أمام كلّ مقترح :

ضع علامة (x) أمام الإجابة السليمة من بين الإجابات التالية :

ارسم مثلثا ABC حيث : AB=​7 cm و BC=​6 cm و AC=​5 cm ثم عين نقطة M من [AB] حيث BM=​2 cm. المستقيم المار من M والموازي لـــ (BC) يقطع (AC) في N.

احسب AN وCN وMN.

ارسم مثلثا ABC حيث : AB=​3 cm و BC=​3,5 cm و AC=​4 cm ثم عين نقطة M من (AB) حيث AM=​7 cm . المستقيم الموازي لـــ (BC) والمار من M يقطع (AC) في N .

احسب محيط المثلّث AMN

ارسم مثلثا AMN حيث : AM=​2,5 cm و AN=​2 cm و MN=​3 cm .

لتكن C نقطة من (NA) حيث NC=​6cm . المستقيم الموازي لـــ (MN) والمار من C يقطع (AM) في B. احسب AB و BC

ليكن IJK مثلثا حيث IJ=​4 cm و IK=​5 cm و JK=​7cm .

1- لتكن M نقطة من [IJ] حيث JM=​1 cm. المستقيم الموازي لـــ (IK) والمار من M يقطع (JK) في N.

احسب JN و MN .

2- لتكن P نقطة من [JI) حيث JP=​6 cm . و Q مسقط P على (IK) وفقا لمنحى (JK).

احسب IQ و PQ .

ليكن EFG مثلثا حيث EF=​4 cm و EG=​6 cm و FG=​7 cm .

لتكن M نقطة من [EF] حيث EM=​3 cm. المستقيم الموازي لـــ(FG) والمار من M يقطع (EG) في N والمستقيم الموازي لـــ (EG) والمار من M يقطع (FG) في P.

احسب EN وMN و FP.

قام أمين بإنجاز الرسم المجاور لكن الشبكة لم تكن كافية لتعيين النقطة B.

علما وأن المستقيمين (CB) و (ED) متوازيان وأن المثلث ABC قائم الزاوية في A.

احسب AB

(انظر الشكل في الكتاب ص 163 : شبكة وحدتها 1 cm .)

ليكن ABC مثلثا وI منتصف [AB]

أ- المستقيم الموازي لـــ (AC) والمار من I يقطع (BC) في J بين أن J منتصف [BC]

ب- المستقيم الموازي لـــ (BC) والمار من I يقطع (AC) في K . بين أن K منتصف [AC] .

ج- لتكن M منتصف [JC]. المستقيم الموازي لـــ (AC) والمار من M يقطع (AB) في P و (IK) في N بين أن PN=​14AC

أراد أربعة إخوة تقسيم قطعة أرض مثلثة الشكل إلى أربع مثلثات متساوية المساحة. فاقترح أحدهم الرسم المجاور حيث D منتصف [AB] و E منتصف [BC] و(EF) مواز لـــ (AB).

ما قولك في هذا المقترح ؟ علل جوابك.

ليكن ABC مثلثا حيث AB=​3 cm و AC=​6 cm و BC=​7 cm.

1-أ- عين النقاط D و E وF بحيث D مناظرة A بالنسبة للنقطة B و E مناظرة A بالنسبة للنقطة C و F منتصف [DE].

ب- احسب DF.

2- لتكن M و N مسقطي B و C على التوالي على (DE) وفقا لمنحى (AF). بين أن M منتصف [DF]

3- المستقيم (CM) يقطع (AB) في G بين أن : GMGC=​GDGB=​MDBC استنتج أن M منتصف [GC].

بقي أحمد يتجوّل فوق ظلّ الشجرة ووقف حين تطابق طرف ظلّه مع طرف ظلّها في النقطة A كما يبينه الرسم أعلاه

(انظر الشكل في الكتاب ص 164 : AB=​22,5m و IB=​15 m .)

فكانت المسافة التي تفصله عن الشجرة IB=​15 m

1- ما هو ارتفاع الشجرة إذا علمت أن طول قامته هو: IJ=​1,5 m ؟

2- طول قامة فاطمة هو KL=​1 m. وقفت فاطمة في النقطة K بحيث يتطابق طرف ظلّها مع طرف ظل الشجرة في النقطة A.

ما هي المسافة IK الفاصلة بين أحمد وفاطمة ؟

ليكن ABCD متوازي أضلاع وI وJ منتصفي [AB] و[CD] على التوالي.

المستقيمان (ID) و (JB) يقطعان [AC] في E و F على التوالي.

بين أن : AE=​EF=​FC

نعتبر شبه منحرف ABCD قاعدتاه [AB] و [CD]. ولتكن I منتصف [AB].

المستقيمان (AC) و (BD) يتقاطعان في O والمستقيم (OI) يقطع (CD) في النقطة J.

بين أن J منتصف [CD].

ليكن ABC مثلثا قائم الزاوية في A، حيث AB=​6cm و BC=​8 cm

لتكن E منتصف [BC] و F المسقط العمودي لـــ E على (AB).

1- بين أن F منتصف [AB].

2- عين النقطة H من [AB] بحيث AH=​4cm.

المستقيم الموازي لـــ (AC) والمار من H يقطع (BC) في K.

أ- بين أن BFBH=​BEBK

ب- احسب BK

3- لتكن G نقطة تقاطع [AE] و [CF]

أ- احسب AE

ب- احسب AG و GE

ج- بين أن (BG) يقطع [AC] في المنتصف.

نعتبر ABC مثلثا و I و J منتصفي [AB] و [AC] على التوالي.

لتكن L وD وM المساقط العمودية على التوالي لـــلنقاط I و A وJ على المستقيم (BC).

1- بين أن BC=​2LM.

2- لتكن G نقطة تقاطع المستقيمين (AL) و (ID) و H نقطة تقاطع المستقيمين (BG) و (AD) .

بين أن النقاط I و G و H على استقامة واحدة.

في الرسم المجاور، المستقيمات (BE) و (CF) و(DG) متوازية حيث AB=​6cm و AE=​5cm و EF=​4cm و CD=​4,5cm. احسب BC و FG

نعتبر ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و[CD] حيث AD=​6cm و BC=​8 cm.

لتكن E نقطة من [DA] حيث DE=​2 cm و F مسقط E على (BC) وفقا لمنحى (DC)

احسب CF و BF

في الرسم المجاور: (AE)//(BF) و OA=​3,5cm و AB=​2,5cm و CD=​2cm و OE=​5cm.

احسب OC وEF

في الرسم المجاور، المستقيم L يمر من A والمستقيم L' يمر من B و L//L'

1- عين نقطتين A' و A'' من المستقيم L بحيث AA′=​AA′′=​3cm ونقطة B' من المستقيم L' بحيث BB′=​5 cm .

المستقيم (A'B') يقطع (AB) في نقطة C والمستقيم (A''B') يقطع (AB) في نقطة D .

2- بين أن CACB=​DADB=​35

3- ابن نقطة M من (AB) حيث MAMB=​27

1- في الرسم المجاور : (AC) مواز لـــ (BD)

بين أن : AOAB=​COCD

2- ابن نقطة M من (OC) بحيث CM=​53CO

لتكن [AB] قطعة مستقيم قيس طولها 9 cm. ابنِ النقطة M من [AB] حيث AM=​25AB .

احسب MB

نعتبر قطعة المستقيم [AB] حيث AB=​12 cm .

1- ابن النقاط M وN و P من [AB] في هذا الترتيب حيث : AM3=​MN4=​NP5=​BP2

2- احسب AM و MN و NP و BP .

ليكن ABC مثلثا حيث AB=​4,5cm و BC=​6 cm و AC=​4cm .

1- ابنِ النقطة D بحيث A تنتمي إلى [CD] و AD=​13AC .

2- المستقيم الموازي لـــ (BC) والمار من D يقطع (AB) في E .

أتمم إنجاز الرسم ثمّ احسب AE و DE .

ليكن ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و[CD] حيث AB=​4cm و AD=​6cm و CD=​7,5cm

1- عين النقطة M من [AD] حيث AM=​2 cm.

2- المستقيم المار من M والموازي لـــ (AB) يقطع (AC) في I و (BC) في N.

أ- بين أن AMAD=​BNBC=​13

ب- احسب MI .

3- لتكن P مناظرة النقطة A بالنسبة للنقطة M و Q مناظرة النقطة A بالنسبة للنقطة I.

أ- بين أن (PQ)//(CD).

ب- استنتج قيمة البعد PQ.

ليكن ABCD مستطيلا مركزه I حيث AB=​2cm و AD=​3cm.

لتكن M نقطة من [BC) حيث BM=​3BC.

1- المستقيم الموازي لـــ (AC) والمار من M يقطع (AB) في E. بين أنّ : BE=​3BA.

2- المستقيم الموازي لـــ (BD) والمار من M يقطع (DC) في F.

أ- احسب CFCD .

ب- استنتج أنّ BEDF متوازي أضلاع.

ليكن ABCD معيّنا.

1- عيّن النقطة E من [AB] والنقطة F من [CD] بحيث : 2×​AB=​5×​AE و 2×​CD=​5×​CF

2- احسب AEDF

3- المستقيمان (AD) و (EF) يتقاطعان في I . بين أنّ AI=​2×​AD

4- ليكن K منتصف [AI] بين أنّ AK=​AD ثمّ استنتج أنّ المثلث KBD قائم الزاوية في B

(وحدة القيس هي الصم)

(وحدة قيس الطول هي الصم )

1- ليكن OBC مثلثا متقايس الضلعين وقمته الرئيسية O حيث OB=​6 و BC=​4 و A مناظرة B بالنسبة إلى O .

أ- بين أن المثلث ABC قائم الزاوية.

ب- أنجز الرسم.

2- المستقيم المار من O والموازي للمستقيم (BC) يقطع (AC) في النقطة D .

بيّن أن D منتصف [AC].

3- لتكن G نقطة تقاطع [BD] و [CO].

أ- ماذا تمثل G بالنسبة للمثلث ABC ؟

ب- احسب CG .

(وحدة قيس الطول هي الصم)

1- ليكن OBC مثلثا قائم الزاوية في O حيث OB=​6 و OC=​3 ولتكن G نقطة من [OB] حيث OG=​2 و A مناظرة C بالنسبة إلى O .

أ- أنجز الرسم

ب- بين أن G مركز ثقل المثلث ABC .

ج- المستقيم (AG) يقطع [BC] في نقطة D. بين أن D منتصف [BC].

2- المستقيم المار من D والموازي للمستقيم (AC) يقطع [AB] في النقطة E .

أ- بين أن E هي منتصف [AB].

ب- احسب DE

ج- بين أن النقاط C و G و E على استقامة واحدة.

3- لتكن C دائرة مركزها O وشعاعها بالصم 3 تقطع [BC] في F وتقطع [AB] في K .

أ- بين أن المثلث ACF قائم

ب- لتكن H نقطة تقاطع المستقيمين (BO) و (AF) . بين أن النقاط C و H و K على استقامة واحدة.