قواسم عدد صحيح طبيعي ومضاعفاته – 7 أساسي – درس تفاعلي مع غربال إراتستان وأسئلة MCQ

هذا الدرس مأخوذ من كتاب الرياضيات المدرسي للسنة السابعة أساسي (الصفحات 40–58، فصل «الأعداد الصحيحة الطبيعية»)، ويتناول القسمة الإقليدية، وقواسم عدد ومضاعفاته، وقابلية القسمة على 4 وعلى 25، والأعداد الأوّلية، والقاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر.

• أنجز الأنشطة على كرّاسك، واقرأ القواعد في الإطارات.

• في التمارين المرفوقة بحلول اضغط «الخطوة التالية» لتظهر خطوات الحلّ واحدة بعد أخرى.

• جرّب الأدوات التفاعلية: القسمة الإقليدية، وغربال إراتستان، وتفكيك عدد إلى جداء عوامل أوّلية، وحساب ق.م.أ و م.م.أ.

• أجب عن أسئلة الاختيار من متعدد لتتحقّق من فهمك فورًا.

أتمم :

7240 s=​… h … s

158 s=​… mn … s

السّاعة : h

الدقيقة : mn

الثانية : s

لبائع زهور 203 وردة يريد تقسيمها إلى باقات بكلّ واحدة منها 15 وردة.

أ) هل يمكنه استعمال كلّ الورود ؟

ب) ما هو أكبر عدد ممكن من الورود الّتي يمكن استعمالها ؟ وكم وردة لم تستعمل لصنع الباقات ؟

ج) أكمل 203=​15×​…+​…

في القسمة الإقليديّة يكون الباقي أصغر من المقسوم عليه (القاسم)

مجموعة قصص عددها محصور بين 20 و 40 ، إذا قسّمناها على 5 تلاميذ بالتساوي لم يبق لنا شيء وإذا قسّمناها على 4 تلاميذ بالتساوي بقيت لنا 3 قصص. ما عدد القصص ؟

ما هو الباقي الممكن لقسمة عدد صحيح طبيعيّ على 2 ؟ على 3 ؟ على 6 ؟

أنجز ذهنيا :

خارج القسمة الإقليديّة لـ 405 على 405 هو ...

خارج القسمة الإقليديّة لـ 308 على 9 هو أقرب إلى 3 أو 30 أو 5 ؟

خارج القسمة الإقليديّة لـ 78504 على 100 هو ...

خارج القسمة الإقليديّة لـ 10735 على 98 يكون أقرب إلى 10 أو 100 أو 1000

نعلم أنّ خارج القسمة الإقليديّة لعدد صحيح طبيعي على 5 هو 64 . ما هي القيم الممكنة لهذا العدد ؟

أ) اذكر معلّلا جوابك الكتابة الّتي تمثّل قسمة إقليديّة للعدد 131 على 12 من بين المقترحات التّالية :

131=​12×​10+​11 ، 131=​12×​9+​23

ب) لنا 102=​6×​15+​12

هل تمثّل هذه الكتابة قسمة إقليديّة ؟ علّل جوابك.

1) حقّق سلسلة المتساويات التّالية :

1×​9+​2=​11

12×​9+​3=​111

123×​9+​4=​1111

2) أ) كم تكون إذن نتيجة العبارة 1234×​9+​5 دون إنجاز العمليّات ؟

ب) حقّق إجابتك بإنجاز عمليّة الحساب.

عمر سارة محصور بين 20 و 30 سنة وقابل للقسمة على 9 . ما هو عمر سارّة ؟

نعتبر مستطيلا بعداه بالصّنتمتر عددان صحيحان ومساحته 12 cm² .

أ) أوجد القيم الممكنة لبعديه.

ب) اكتب إذن مساحته في صيغة جداء. (اعط كلّ الإمكانيّات)

ج) أوجد قواسم العدد 12 .

نعتبر العدد 28.0 حيث رقم عشراته غير معلوم نمثّله بنقطة

أ) ابحث عن الرقم المجهول لتتحصّل على عدد قابل القسمة على 3

(اعط كلّ الإمكانيّات)

هل العدد المتحصّل عليه في كلّ حالة قابل القسمة على 5 ؟ على 15 ؟

أ) اكتب العدد 24 في صيغة جداء عددين صحيحين طبيعيّين. قارن نتيجتك بنتائج زملائك.

ب) اكتب العدد 24 في صيغة جداء ثلاثة أعداد صحيحة طبيعيّة.

ج) للعدد 24 ثمانية قواسم، جدها.

صل بسهم بين العدد وقواسمه

(انظر الرسم في الكتاب ص 42 : العدد 72420، والأعداد 10 ، 30 ، 45 ، 100 ، 156)

يكون عدد صحيح طبيعي مخالف للصفر قاسما لعدد صحيح طبيعي آخر إذا كان الأخير يقبل القسمة على الأوّل أي إذا كان باقي القسمة الإقليديّة للعدد الثّاني على العدد الأوّل هو صفر.

مثال : العدد 3 قاسم للعدد 12 لأنّ 12=​3×​4

– العدد 1 قاسم لكلّ عدد صحيح طبيعي

– كلّ عدد صحيح طبيعي مخالف للصّفر هو قاسم لنفسه ولصفر

هل يمكنك تقسيم 254 تلميذا إلى 12 فريقا بنفس عدد التّلاميذ ؟

انخرط في نشاط كرة اليد 42 تلميذا، إلى كم من مجموعة يمكن توزيعهم إذا علمت أنّ فريق كرة اليد يتكوّن من سبعة لاعبين (ستّة لاعبين و حارس مرمى) ؟

1) أجب بـ «صواب» أو «خطأ» على كلّ مقترح من المقترحات التّالية :

2) أكمل الكتابات التّالية :

49=​24×​2+​1 إذن العددان .... و ...... ليسا قاسمين للعدد 49

146=​…×​9+​2 إذن العدد 9 ليس قاسما للعدد 146

133=​13×​…+​3 إذن العددان .... و ..... ليسا قاسمين للعدد 133

بواسطة الأرقام 5 و 0 و 4

اكتب الأعداد الزّوجيّة ذات الثّلاثة أرقام مختلفة والتي تقبل القسمة على 5

اكتب الأعداد الزّوجية ذات الثّلاثة أرقام مختلفة والتي تقبل القسمة على 9

اكتب الأعداد الزوجية ذات الثّلاثة أرقام مختلفة والتي تقبل القسمة على 5 و 9 في آن واحد.

في قسمة إقليديّة لعدد صحيح طبيعي على عدد صحيح طبيعي آخر مخالف للصفر إذا كان الباقي مخالفا للصفر فإنّ العدد الثّاني لا يكون قاسما للعدد الأوّل.

1) من بين الأعداد الأصغر من 100 اذكر تلك الّتي تقبل القسمة على 4

2) أ) قارن باقي قسمة 2768 على 4 وباقي قسمة 68 على 4

ب) انقل الجدول التّالي وأكمل :

ج) ماذا تلاحظ ؟

1) أ) انقل وأتمم الفراغات بما يناسب :

268=​200+​… ، 4527=​…+​27 ، 35292=​…+​92 ، 71845=​…+​…

ب) انقل الجدول التّالي وأتممه :

ج) استنتج باقي القسمة على 4 لكلّ عدد من الأعداد التالية :

268 ، 4527 ، 35292 ، 71845

يكون عدد قابلا للقسمة على 4 إذا كان العدد المتكوّن من رقم آحاده ورقم عشراته قابلا للقسمة على 4.

باقي قسمة عدد على 4 هو نفس باقي قسمة العدد المتكوّن من رقم آحاده ورقم عشراته على 4 .

أ) ماهو باقي قسمة كلّ عدد من الأعداد التّالية على 4 ؟

275 ، 73 ، 25348 ، 10254324 ، 12345678 ، 2131404.

ب) استنتج الأعداد الّتي تقبل القسمة على 4 .

عوّض في كل حالة الرّمز * برقم لتتحصّل على عدد قابل للقسمة على 4 .

18*4 ، 340* ، 7347* ، 2586482*8

1) أ) من بين الأعداد الأصغر من 100 اذكر تلك التي تقبل القسمة على 25 .

ب) قارن باقي قسمة 2538 على 25 وباقي قسمة 38 على 25 .

2) أ) انقل وأكمل الجدول التّالي :

ب) ماذا تلاحظ ؟

يكون عدد قابلا للقسمة على 25 إذا كان العدد المتكوّن من رقم آحاده ورقم عشراته قابلا للقسمة على 25.

باقي قسمة عدد على 25 هو نفس باقي قسمة العدد المتكوّن من رقم آحاده ورقم عشراته على 25 .

حدّد باقي قسمة كلّ عدد من الأعداد التّالية على 25 .

73 ، 2561 ، 33200 ، 12345678925 .

عوّض كل نقطة برقم لتتحصّل على عدد قابل للقسمة على 25 و على 3 .

8.2. ، 1.6..

اشترى كُتُبِيٌّ عددا من الكتب من نفس النّوع ومِثْلَ ذلك العدد أقلام حبر رفيعة من نفس النّوع.

نعلم أنّ ثمن الكتاب الواحد هو 15 دينارا وثمن القلم الواحد هو 10 دنانير.

ما هو من بين المبالغ التّالية ثمن هذه المشتريات ؟

3120 د ، 3125 د ، 3130 د

لك 29 زهرة. كم من باقة زهور بها نفس العدد من الزّهور يمكنك تكوينها ؟

نريد توزيع 17 طفلا إلى فرق بها نفس العدد من الأطفال. هل يمكننا ذلك ؟ وكيف ؟

عمر سامي بالسّنة محصور بين 18 و22 ولا يقبل القسمة إلاّ على 1 وعلى نفسه. ما هو عمر سامي ؟

عدد أوّلي هو عدد صحيح طبيعي أكبر من 1 ولا يقبل القسمة إلاّ على 1 وعلى نفسه

1 غير أوّليّ ، نشطبه.

2 أوّليّ، إذن بقيّة مضاعفاته 4,6,8,… ليست أوّليّة، نشطبها.

3 أوّلي، إذن بقيّة مضاعفاته 6,9,12,… ليست أوّليّة، نشطبها.

نواصل بنفس الطّريقة تحديد الأعداد الأوّليّة ونشطب بقيّة مضاعفاتها فنتحصّل على كلّ الأعداد الأوّليّة الأصغر من 100. (انظر الجدول)

علّل لماذا كلّ من الأعداد التّالية غير أوليّ.

128 ; 121 ; 93 ; 57 ; 55 ; 339 ; 1035 ; 1

أ) هل توجد أعداد أوّليّة زوجيّة ؟

ب) أذكر القواسم الأوّليّة لكل من الأعداد 12 و20 و 27 .

ج) أيّ عدد أوّليّ ذي رقمين يصبح قوّة للعدد 2 إذا أضفنا له 1 ؟

ماهما البعدان الممكنان لمستطيل مساحته 43 صنتمترا مربّعا علما أنّهما عددان صحيحان طبيعيّان ؟

سئلت أستاذة رياضيات عن عمرها فأجابت

«عمري هو حاصل جداء 4 وعدد أوّلي أصغر من 17، إذا جمعت قواسمه باستثنائه تعرّفت عليه»

ما هو عمر الأستاذة ؟

ثلاثة إخوة يتجاوز أصغرهم السّنتين من العمر وجداء أعمارهم بالسنة يساوي 1001

كم عمر كلّ واحد منهم ؟

أ) هل أنّ 12462 قابل القسمة على 2 وعلى 3 ؟

حقّق أنّ 6 قاسم للعدد 12462

ب) هل أنّ 2250 قابل القسمة على 3 وعلى 5 ؟

حقّق أنّ 15 قاسم للعدد 2250

ج) نلاحظ أنّ العدد 36 قابل القسمة على 4 وعلى 6 .

فهل هو قابل القسمة على 24 ؟

إذا كان عددان أوّليّان قاسمين لعدد ثالث فإنّ جداءهما يكون قاسما للعدد الثّالث.

مثال : العددان 5 و 7 أوّليّان. العدد 70 يقبل القسمة على 5 وعلى 7 إذن فهو يقبل القسمة على 5×​7 أي 35.

الجداء 2×​5×​7 هو تفكيك للعدد 70 إلى جداء عوامل أوّليّة

كل عدد صحيح طبيعي غير أولي مخالف للصفر ولواحد يقبل تفكيكا إلى جداء عوامل أوّليّة

اعط من بين المقترحات التّالية كلّ كتابة الّتي تعبّر عن تفكيك إلى جداء عوامل أوّليّة.

15×​22 ، 51×​13 ، 63×​5 ، 2×​2×​17 ، 59×​3

العدد 120 يقبل القسمة على كلّ من الأعداد الأوّليّة 2 و 3 و 5

نقوم بسلسلة القسمات التّالية :

فنتحصّل على 120=​2×​2×​2×​3×​5

أي 120=​2³×​3×​5

أ) فكّك إلى جداء عوامل أوّليّة الأعداد التّالية : 8×​9×​15 و 120×​5×​3

ب) بيّن أنّ كلّ عدد من الأعداد أسفله هو مربّع كامل.

676 ؛ 1296 ؛ 4900

ج) فكّك الأعداد أسفله إلى جداء عوامل أوّليّة.

1 000 000 ؛ 250 000 ؛ 180⁴

د) جد طول ضلع مربّع مساحته 5625 متر مربّع.

حدّد عناصر كلّ من المجموعتين D₂₀₀ و D₃₂₄

1) أ) جد مجموعة قواسم العدد 45

ب) جد مجموعة قواسم العدد 27

ج) جد مجموعة القواسم المشتركة للعددين 27 و 45

استنتج أكبر قاسم مشترك للعددين

2) أ) جد مجموعة قواسم العدد 354

ب) جد مجموعة قواسم العدد 531

ج) جد مجموعة القواسم المشتركة للعددين 354 و 531

استنتج أكبر قاسم مشترك للعددين.

تريد سيّدة تقسيم كعكة شكلها مستطيل بعداه 39 cm و 26 cm إلى قطع متقايسة ومربّعة الشّكل ضلع كل الواحدة بالصّنتمتر عدد صحيح طبيعي (دون إتلاف أيّ جزء من الكعكة).

1) ما هو ضلع القطعة الواحدة علما أنّها تريد أن تتحصّل على أكبر عدد ممكن من القطع ؟

2) ما هو ضلع القطعة الواحدة علما أنّها تريد أن تتحصّل على أقلّ عدد ممكن من القطع ؟

جمع عمر من حديقة منزله 12 زهرة بيضاء و 42 زهرة حمراء و 30 زهرة صفراء لتكوين باقات تحتوي على نفس العدد من الأزهار من كلّ لون.

ما هو أكبر عدد من الباقات الّتي يمكن تكوينها باستعمال كلّ الأزهار ؟

القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين هو أكبر قاسم مشترك لهذين العددين

يرمز للقاسم المشترك الأكبر لعددين بـ : ق.م.أ.

مثال : 4=​ ق.م.أ (8;12)

أ) جد مجموعة قواسم كلّ من العددين 15 و 28 .

ب) حدّد ق. م. أ (15،28).

إذا كان القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين طبيعيين يساوي 1 نقول أن هذين العددين أوّليان فيما بينهما.

القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين طبيعيّين هو جداء العوامل الأوّليّة المشتركة لهما مع إعطاء أصغر دليل قوّة لكلّ منها.

انقل المخطّط التّالي وأتممه لتحديد ق م أ (180,48)

(انظر المخطّط في الكتاب ص 55 : 180 و 48 ، القاسم المشترك الأوّل 4 ثمّ 45 و … )

إذا كان عدد قاسما لآخر فإنّه يمثّل الق.م.أ لهما.

احسب

ق م أ (90,105) ؛ ق م أ (70,161)

ق م أ (105,75) ؛ ق م أ (90,75,105)

احسب ذهنيّا

ق م أ (34567,1) ؛ ق م أ (6,24)

ق م أ (300,12600) ؛ ق م أ (12,13)

أنقل الكتابات التّالية وأكملها

(48=​24×​2) إذن 48 مضاعف للعددين ... و .....

العددان 3 و 11 قاسمان للعدد 33 إذن 33 مضاعف للعددين ... و ...

العددان 11 و 5 قاسمان للعدد 55 إذن 55 مضاعف للعددين ... و ...

56=​…×​14 إذن ..... مضاعف للعدد 14

37=​…×​… إذن 37 مضاعف للعدد ....

جد مضاعفات العدد 5 أكبر من 71

جد مضاعفات العدد 5 أصغر من 62

جد مضاعفات 11 المحصورة بين 35 و63

يكون عدد صحيح طبيعي مضاعفا لعدد صحيح طبيعي آخر مخالف للصفر إذا كان هذا الأخير قاسما للأوّل.

هل أنّ 46 مضاعف لـ 3 ؟

هل أنّ العدد 105 مضاعف لـ 9 ؟

هل أنّ العدد 15×​258 مضاعف لـ 5 ؟

هل أنّ العدد 4316 مضاعف لـ 4 ؟

أجب بـ «صحيح» أو «خطأ» على المقترحات المقدّمة بالجدول التّالي :

يمكن تعبئة صنف من الأواني سعة الواحدة منها 18 لترا وصنف آخر من الأواني سعة الواحدة منها 15 لترا بمادة سائلة. ابحث عن الكمّيّة الممكنة من هذه المادّة إذا علمت أنّها محصورة بين 138 لترا و 186 لترا .

في النّظام الشّمسي وبفعل قوّة الجاذبية الشّمسية يحافظ كلّ كوكب على مدار دائري تقريبا. ونعلم أنّ دورة عطارد حول نفسه تدوم 59 يوما بالتّوقيت الأرضي ودورة الزّهرة حول نفسها تدوم 243 يوما بالتّوقيت الأرضي.

كم من دورة يدور كلّ من الكوكبين خلال 14337 يوما ؟

نعتبر العدد 201. حيث تمثّل النقطة رقم آحاده.

ما هو رقم الآحاد لهذا العدد ليكون مضاعف لـ 3 و 5 ؟

هل هذا العدد مضاعف لـ 15 ؟

يكون عدد صحيح طبيعي مضاعفا مشتركا لعددين صحيحين طبيعيين إذا كان مضاعفا لكلّ منهما

ترسل منارة إشارة ضوئيّة كلّ 12 ثانية وترسل منارة أخرى إشارة كلّ 16 ثانية. انطلقت المنارتان في إرسال إشارتيهما معا. بعد كم من ثانية يقع إرسال الإشارتين معا لأوّل مرّة ؟

انطلق إسكندر ويوسف بدرّاجتيهما من نفس الخطّ وفي نفس الوقت على مسلكين دائريين. يقوم إسكندر بدورة كلّ 5 دقائق ويقوم يوسف بدورة كلّ 4 دقائق. بعد كم دقيقة يكونان معا على خطّ الانطلاق لأوّل مرّة ؟

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين طبيعيين مخالفين للصفر هو أصغر مضاعف مشترك مخالف للصفر لهذين العددين.

يرمز للمضاعف المشترك الأصغر لعددين بـ : م.م.أ

مثال : 20=​ م.م.أ (4;5)

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين طبيعيّين هو جداء العوامل الأوّليّة المشتركة وغير المشتركة لهما مع إعطاء أكبر دليل قوّة لكلّ منها.

إذا كان عدد مضاعفا لآخر فإنّه يمثّل الم.م.أ لهما

أ) أكمل تعمير المخطّط التّالي واستنتج الم م أ (120,126)

(انظر المخطّط في الكتاب ص 58)

ب) احسب الم م أ (72,48) و الم م أ (124,144) والم م أ (10,15,20)

احسب ذهنيّا

م م أ (6,7) ؛ م م أ (35274,1) ؛ م م أ (12,9)

م م أ (18,3600) ؛ م م أ (1000,3758000)

عدد تلاميذ إحدى المدارس محصور بين 500 و 600.

إذا قسّمنا التلاميذ إلى مجموعات جزئيّة ذات 20 تلميذا أو 12 تلميذا أو 36 تلميذا نلاحظ أنّه يبقى 7 تلاميذ في كلّ مرّة.

ما عدد التّلاميذ بالمدرسة ؟