درس تفاعلي في التناظر المركزي للسنة الثامنة أساسي، مطابق لكتاب الرياضيات المدرسي (ص 164–194): تعريف مناظرة نقطة بالنسبة إلى نقطة، وخاصيات التناظر المركزي (المستقيم، القطعة، الزاوية، الدائرة، المساحة)، ومركز تناظر الأشكال، والتناظر في المعيّن المتعامد، مع شكل تفاعلي يدير المثلث نصف دورة، ولعبة المناظرات، وأسئلة بتصحيح فوري وتمارين الكتاب.
 |
| التناظر المركزي – 8 أساسي – درس تفاعلي بألعاب ونقاط |
كتاب الرياضيات · السنة الثامنة أساسي · ص 164–194
التناظر المركزي
هل لاحظت أنّ ورقة اللعب (الملك أو الملكة 🃏) تبقى هي نفسها إذا أدرتها نصف دورة؟ هذا هو التناظر المركزي! الدرس من كتاب الرياضيات للسنة الثامنة أساسي (ص 164–194).
⭐ كلّ إجابة صحيحة من أوّل محاولة = 10 نقاط، وكلّ لعبة أو شكل تستكشفه = نقاط إضافيّة.
🔄 في الشكل التفاعلي ستُدير مثلّثا نصف دورة حول النقطة O بنقرة زرّ.
🗺️ وفي لعبة المعيّن ستبحث عن مناظرات النقاط… ثمّ شهادتك في آخر الدرس 🎓
التناظر المركزي
I. التناظر المركزي
II. خاصيات التناظر المركزي
III. مركز تناظر أشكال هندسية
IV. التناظر و التعيين
📝 نشاطاستحضر – 1
انقل الرسم على كراسك ثمّ أنجز البناء المطلوب في كلّ حالة من الحالات التالية :
أ) ابن النقطة A' مناظرة النقطة A بالنسبة إلى المستقيم Δ .
ب) A و B نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى مستقيم Δ. ابنِ Δ.
ج) ابن المثلث A'B'C' مناظر المثلث ABC بالنسبة إلى المستقيم Δ.
📝 نشاطاستحضر – 2
أ) ما هو الشكل الذي له محور تناظر أو أكثر ؟
ب) في أيّ شكل من الأشكال التالية النقطتان U و V متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم (d) ؟
(انظر الأشكال في الكتاب ص 165)
📝 نشاطاستحضر – 3
A و B نقطتان متناظرتان بالنسبة لمستقيم ( d).
انقل الجدول التالي على كراسك ثمّ أجب بـ صحيح أو خطأ في الخانة المقابلة.
❓ سؤال
❓ سؤال
❓ سؤال
❓ سؤال
❓ سؤال
⭐ خاصية
ليكن Δ مستقيما و M نقطة من المستوي لا تنتمي إلى المستقيم Δ .
تكون النقطة M' مناظرة للنقطة M بالنسبة إلى المستقيم Δ إذا كان المستقيم Δ هو الموسط العمودي للقطعة [MM′]
إذا كانت M تنتمي إلى المستقيم Δ فهي مناظرة نفسها.
📝 نشاطاستحضر – 4
في الشكل المقابل ABC مثلّث و (D) مستقيم
(انظر الشكل في الكتاب ص 166 : BAC=20° و ABC=110° .)
أ) نعتبر A' و B' مناظرتي النقطتين A وB على التوالي بالنسبة إلى (D).
بيّن أنّ I و A' و B' على استقامة واحدة.
ب ) نعتبر C' مناظرة النقطة C بالنسبة إلى (D).
حدّد قيس الزاوية A′B′C′ .
📝 نشاطاستحضر – 5
أ) قارن AB و AM+MB في كلّ حالة من الحالات التالية :
(انظر الوضعيّات الثلاث في الكتاب ص 167)
ب) في أيّ وضعيّة من الوضعيّات السّابقة تحقّق النّقطة M المساواة AM+MB=AB ؟
I التناظر المركزي
📝 نشاطنشاط 1
1 ) انقل الرسم (F) على ورق شفاف ثمّ على كرّاسك.
–ضع الورق الشفاف على كراسك بحيث ينطبق الرسمان .
–ثبّت شوكة البركار على النقطة O.
–قم بتدوير الورق الشفاف نصف دورة (سوف تلاحظ أنّ الخطّين المتقطعين محمولان على نفس المستقيم) وارسم الشكل المتحصّل عليه (F').
نقول إنّ الشكل (F') مناظر للشكل (F) بالنسبة إلى النقطة O أو أنّ الشكل (F') هو مناظر الشكل (F) بالتناظر المركزي الّذي مركزه O.
2 ) حدّد على الشكل (F') النقاط A' و B' و C' الموافقة على التوالي للنقاط A و B و C .
ب) ماذا تمثّل النقطة O بالنسبة إلى كلّ من قطع المستقيمات [AA′] و[BB′] و [CC′]؟
نقول إنّ النقطة A' مناظرة النقطة A بالنسبة للنقطة O إذا كانت O منتصف قطعة المستقيم [AA′].
📝 نشاطنشاط 2
أ) انقل الأشكال التالية على كراسك
(انظر الأشكال الثلاثة في الكتاب ص 168)
ب) ارسم في كلّ حالة من الحالات التالية مناظر الشكل المرسوم بالنسبة إلى النقطة O.
📌 تعريف
نعتبر نقطة O من المستوي
• لتكن M نقطة مخالفة للنقطة O.
مناظرة النقطة M بالنسبة لـ O هي النقطة M' التي تحقّق O منتصف قطعة المستقيم [MM′].
• مناظرة النقطة O بالنسبة للنقطة O هي نفسها.
💡 ملاحظةمصطلحات وكتابة
▪ التناظر بالنسبة للنقطة O يسمّى تناظرًا مركزيًا
▪ نسمّي النقطة O مركز التناظر.
▪ عندما تكون نقطتان M و M' متناظرتين بالنسبة لـ O نقول إنّ كلاّ منهما مناظرة للأخرى بالتناظر المركزي.
📐 شكل تفاعلي🔄 جرّب : التناظر المركزي = نصف دورة حول O
اضغط الزرّ لترى المثلث يدور نصف دورة حول O فينطبق على مناظره. اسحب O أو A أو B أو C ولاحظ أنّ O يبقى منتصف [AA′] و [BB′] و [CC′] .
O منتصف [AA′] : OA=OA′=4,2 cm
يحافظ على البعد : AB=2,3 و A′B′=2,3 ؛ وعلى الزوايا : BAC=B′A′C′=61° ؛ و (AB)//(A′B′)
تطبيق
📝 نشاطتطبيق 1
لاحظ الرسم التالي و حدّد مناظرات النقاط A و B و C و D بالنسبة إلى O .
(انظر الشكل في الكتاب ص 169 : مستطيل ABCD قطراه يتقاطعان في O .)
❓ سؤال
📝 نشاطتطبيق 2
أ) ارسم نقطتين O و A . ارسم الدائرة C التي مركزها O و شعاعها OA.
نصف المستقيم [AO) و C يتقاطعان في نقطة ثانية A' .
ب) بيّن أنّ A و A' متناظرتان بالنسبة إلى O.
📝 نشاطتطبيق 3
انقل على كراسك المستقيم المدرج التالي:
أ) عيّن النقاط A و B و C و D و E التي فاصلاتها على التوالي 2 ، 3 ، −3 ، 4 ، 5
ب) حدّد مناظرة النقطة B بالنسبة إلى O و مناظرة النقطة D بالنسبة إلى B
ج) انقل ثمّ أتمم بما يناسب :
– مناظرة النقطة E بالنسبة إلى I هي ..
– النقطتان O و D متناظرتان بالنسبة إلى ....
📏 مستقيم عددي📏 المستقيم المدرّج (تطبيق 3)
مناظرة نقطة فاصلتها a بالنسبة إلى O فاصلتها a− (مقابل a) . اكتب فاصلة المناظرة لتتحقّق.
- O(0)
- I(1)
- A(2)
- B(3)
- C(-3)
- D(4)
- E(5)
❓ سؤال
📝 نشاطتطبيق 4
انقل الرسم التالي :
ما هي إحداثيات كلّ من النقاط A و B و C ؟
عيّن النقاط A' و B' و C' مناظرات النقاط A و B و C على التوالي بالنسبة إلى O.
ج) ما هي إحداثيات النقاط A' و B' و C'.
(انظر الشبكة في الكتاب ص 169)
التناظر المركزي «أمين» جدّا : يحفظ الاستقامة، والأبعاد، والمنتصف، والزوايا، والدوائر، والمساحات! 📏📐⭕
لكنّه يقلب الاتّجاه : المستقيم يصبح موازيا لمناظره.
II خاصيات التناظر المركزي
1 مناظر مستقيم – نصف مستقيم – المحافظة على الاستقامة:
📝 نشاطنشاط 1
1) ارسم مستقيما (D) و نقطة O لا تنتمي إليه.
▪ عيّن نقطتين A و B من (D) .
▪ ارسم مناظرتيهما A' و B' على التوالي بالنسبة إلى O و المستقيم (A'B').
▪ خذ ورقة شفافة و ثبّتها بواسطة شوكة البركار في النقطة O ثمّ انقل عليها المستقيم (AB)
▪ أدر الورقة الشفافة حتى تنطبق النقطة A على النقطة A' و لاحظ أن (AB) قد انطبق على (A'B') أي أنّ مناظر المستقيم (AB) بالنسبة إلى O هو المستقيم (A'B')
▪ حقّق أنّ المستقيمين (AB) و (A'B') متوازيان
2) ما هو مناظر نصف المستقيم [AB] بالنسبة إلى O ؟
⭐ خاصية
لتكن O نقطة من المستوي.
• مناظر مستقيم بالنسبة إلى O هو مستقيم مواز له.
• إذا كانت A و B نقطتين مختلفتين و A' وB' مناظرتيهما على التوالي بالنسبة إلى O فإنّ المستقيم (A'B') مناظر المستقيم (AB) بالنسبة إلى O ولدينا (A'B') مواز لـ (AB)
• نصف المستقيم [A′B′) هو مناظر نصف المستقيم [AB) بالنسبة إلى O
أطبق
📝 نشاطأطبق 1
أ) ارسم مستقيما Δ و نقطتين مختلفتين A و B لا تنتميان إلى Δ.
ب) ابن المستقيم Δ' مناظر Δ بالنسبة إلى A و Δ" مناظر Δ بالنسبة إلى B
ج) أثبت أنّ Δ' و Δ" متوازيان.
📝 نشاطأطبق 2
انقل الرسم المقابل على كراسك
ابن مناظر المستقيم Δ بالنسبة إلى I
📝 نشاطأطبق 3
ابن متوازي الأضلاع EFGH و لتكن النقطة O مركزه.
انقل وأتمم بما يناسب:
مناظر المستقيم (EF) بالنسبة إلى O هو المستقيم ..........
مناظر المستقيم ........بالنسبة إلى O هو المستقيم (EH)
❓ سؤال
📝 نشاطأطبق 4
لاحظ الشكل التالي حيث (xx') و (yy') مستقيمان متوازيان
ما هو مناظر كلّ من [Ex) و [Fy) و [EF] بالنسبة إلى النقطة O.
(انظر الشكل في الكتاب ص 171 : O منتصف [EF] .)
📝 نشاطنشاط 2
أ) ارسم ثلاث نقاط A و B و C على استقامة واحدة ونقطة O.
ب) ابن النقاط A' و B' و C' مناظرات A و B و C على التوالي بالنسبة إلى O.
ج) أثبت أنّ A' و B' و C' على استقامة واحدة .
⭐ خاصية
مناظرات ثلاث نقاط على استقامة واحدة بتناظر مركزي هي ثلاث نقاط على استقامة واحدة .
التناظر المركزي يحافظ على الاستقامة.
📝 نشاطأطبق 1
ارسم ثلاث نقاط A و B و C على استقامة واحدة وعيّن النقطة O منتصف [AB].
نعتبر النقطة D مناظرة النقطة C بالنسبة للنقطة O.
بين أن النقطة D تنتمي إلى المستقيم (AB).
📝 نشاطأطبق 2
ارسم مثلّثا ABC وعيّن النقطة O منتصف [BC]
ابن النقطة D مناظرة النقطة A بالنسبة إلى النقطة O
عيّن M نقطة من [AB]. المستقيم (OM) يقطع (CD) في النقطة N
بيّن أنّ النقطة N هي مناظرة النقطة M بالنسبة إلى النقطة O.
2 المحافظة على البعد– مناظرة قطعة مستقيم– المحافظة على المنتصف.
📝 نشاطنشاط 1
لتكن O نقطة من المستوي
1) عيّن نقطتين A و B حيث O و A و B ليست على استقامة واحدة.
أ) ابن النقطتين A' و B' مناظرتي A و B على التوالي بالنسبة لـ O.
ب) ما هو مناظر كلّ من (AB) و (A'B) بالنسبة إلى O؟
ج) أثبت أنّ الرباعي ABA'B' متوازي الأضلاع.
د) استنتج أنّ A′B′=AB .
2) عين نقطة C من المستقيم (OA) مخالفة لـ O و A وابن مناظرتها C' بالنسبة لـ O
قارن AC و A'C'.
⭐ خاصية
لتكن O نقطة من المستوي
إذا كانت A و B نقطتين من المستوي وA' و B' مناظرتي النقطتين A و B على التوالي بالنسبة إلى O فإنّ A′B′=AB .
التناظر المركزي يحافظ على البعد.
📝 نشاطنشاط 2
أ) ارسم قطعة مستقيم [AB] و نقطة O .
ب) ابن النقطتين A' وB' مناظرتي A وB على التوالي بالنسبة إلى النقطة O
ج) ارسم القطعة [A′B′] .
د) لتكن M نقطة من [AB] و M' مناظرتها بالنسبة إلى O . قارن بين AM+MB و AB ثمّ قارن بين A'M'+M'B' و A'B'
استنتج أنّ M' تنتمي إلى [A′B′].
ه) لتكن N' نقطة من [A′B′] و N نقطة من المستوي بحيث N' مناظرتها بالنسبة إلى O .
بيّن أنّ N تنتمي إلى [AB]
و) استنتج مناظر قطعة المستقيم [AB] بالنسبة إلى O.
⭐ خاصية
لتكن O نقطة من المستوي.
مناظر قطعة مستقيم بالنسبة إلى O هي قطعة مستقيم مقايسة لها
إذا كانت نقطتان A' و B' مناظرتي نقطتين A و B على التوالي بالنسبة إلى O فإنّ قطعة المستقيم [A′B′] هي مناظرة القطعة [AB] بالنسبة إلى O .
📝 نشاطأطبق 1
لاحظ الشكل المقابل
ما هو مناظر كلّ من [CD] و [HC] و [GH] و [CG] بالنسبة إلى E ؟
(انظر الشكل في الكتاب ص 173 : E منتصف [CD] و [HG] .)
📝 نشاطأطبق 2
ارسم قطعة مستقيم [FG]
أ) ابن النقطة F' مناظرة F بالنسبة إلى G و النقطة G' مناظرة G بالنسبة إلى F
ب) بيّن أنّ FG′=GF′
📝 نشاطأطبق 3
ليكن ABC مثلثا و A' و B' و C' منتصفات القطع [BC] و [AC] و [AB] على التوالي
أ) ابنِ النقطتين A" و C" بحيث A" مناظرة B' بالنسبة إلى A' و C" مناظرة B' بالنسبة إلى C'
ب) ما هي طبيعة الرباعي AB'BC" ؟
ج) أثبت أنّ النقطة B منتصف قطعة المستقيم [A"C"]
📝 نشاطأطبق 4
أ) انقل الرسم التالي على كراسك ABCD مستطيل بعداه AB=5 cm و AD=3cm و نقطة I من المستوي.
ب) ابن الرباعي EFGH مناظر المستطيل ABCD بالنسبة إلى النقطة I. ما هي طبيعته ؟ حدّد محيطه و مساحته.
❓ سؤال
📝 نشاطنشاط 3
أ) انقل الرسم المقابل على كرّاسك حيث I منتصف القطعة [MN] و O نقطة من المستوي .
ب) ابن النقاط M' و N' و I' مناظرات M و N و I على التوالي بالنسبة إلى O
ج) بيّن أنّ النقطة I' منتصف القطعة [M′N′]
⭐ خاصية
التناظر المركزي يحافظ على المنتصف.
📝 نشاطأطبق 1
رسمنا قطعة المستقيم [AB] وجزءا من مناظرتها [A′B′] بالنسبة إلى النقطة I كما هو مبيّن بالشكل المقابل.
انقل الشكل وابن بالمسطرة والبركار منتصف القطعة [A′B′]
📝 نشاطأطبق 2
1) أ) ارسم متوازي أضلاع ABCD و عيّن مركزه O.
ب) ابن النقطة B' مناظرة B بالنسبة إلى C
2) المستقيم (OB') يقطع (AD) في النقطة D'
أ) بيّن أنّ B' و D' متناظرتان بالنسبة إلى O
ب) استنتج أنّ النقطة A منتصف القطعة [DD′]
3 مناظرة زاوية
📝 نشاطنشاط 3
أ) ارسم زاوية BAC و نقطة O
ب) ابن النقاط A' و B' و C' مناظرات النقاط A و B و C على التوالي بالنسبة إلى O
ج) ارسم نصفي المستقيم [A′B′) و [A′C′)
د) تحقّق بواسطة الورقة الشفافة من أنّ مناظر الزاوية BAC بالنسبة إلى O هي الزاوية B′A′C′ وتحقّق أنّ B′A′C′=BAC .
⭐ خاصية
▪ مناظر زاوية بالنسبة إلى نقطة من المستوي هي زاوية مقايسة لها . التناظر المركزي يحافظ على أقيسة الزوايا.
▪ لتكن O نقطة من المستوي. إذا كانت A وB و C ثلاث نقاط مختلفة من المستوي و A' و B' و C' مناظراتها على التوالي بالنسبة إلى O فإنّ مناظرة الزاوية BAC هي الزاوية B′A′C′
📝 نشاطأطبق 1
أ) ارسم المثلّث ABC حيث ABC=80° و ACB=40° و BC=4cm
ب) لتكن النقطة I منتصف [AC]. ابن النقطة D مناظرة B بالنسبة إلى I . احسب BAC.
ج) حدّد مناظرة كلّ زاوية من الزوايا التالية بالنسبة إلى I : BAC و ABC و BAD
احسب قيس كلّ منها.
د) عيّن نقطة M تنتمي إلى (BC) و لا تنتمي إلى [BC] ثمّ احسب DCM .
❓ سؤال
📝 نشاطأطبق 2
تأمّل الرسم المقابل حيث XOY و X′OY′ زاويتان متقابلتان بالرأس.
أ– ما هي مناظرة الزاوية XOY بالنسبة إلى O ؟
ب – ماذا تستنتج ؟
ج– إذا كان XOY+X′OY′=90° احسب XOY′
❓ سؤال
📝 نشاطأطبق 3
انقل الشكل المقابل على كراسك .
ابن النقاط P وQ وR وS مناظرة النقاط A و C و D و E بالنسبة إلى النقطة B.
احسب قيس الزاويتين RSA و QPB .
(انظر الشكل في الكتاب ص 176 : ACB=50° ، ABC=35° ، DEB=45° ، BC=5cm ، BD=6cm .)
4 مناظر دائرة
📝 نشاطنشاط 3
في الشكل المقابل (C) و (C') دائرتان لهما نفس الشعاع و النقطة O منتصف [II′].
1) انقل الشكل على كراسك
2) لتكن M نقطة من (C)
أ) ابن النقطة M' مناظرة M بالنسبة إلى O .
ب) أثبت أنّ MIM'I' متوازي الأضلاع.
ج) استنتج أنّ M' تنتمي إلى (C').
3) لتكن N' نقطة من (C').
أ) ابن النقطة N بحيث تكون النقطة N' مناظرة N بالنسبة إلى O.
ب) أثبت أنّ N تنتمي إلى (C).
⭐ خاصية
▪ نقول إنّ الدائرتين (C) و (C') متناظرتان بالنسبة إلى O
▪ مناظرة دائرة بالنسبة إلى نقطة من المستوي هي دائرة مقايسة لها.
مناظرة دائرة (C) مركزها I بالنسبة إلى نقطة O هي دائرة (C') لها نفس الشعاع و مركزها I' مناظرة I بالنسبة إلى نقطة O.
📝 نشاطأطبق 1
ارسم دائرة (C) مركزها I .
ارسم الدائرة (C') مناظرة (C) بالنسبة إلى نقطة O في كلّ حالة من الحالات التالية :
– I و O مختلفان و O لا تنتمي للدائرة
– I و O متطابقان
– O∈(C)
📝 نشاطأطبق 2
أ) ارسم ثلاث دوائر لها نفس المركز O .
ب) ارسم مثلثا MNP بحيث يكون كل رأس على دائرة .
ج) ابنِ، باستعمال المسطرة فقط، المثلّث M'N'P' المناظر للمثلث MNP بالنسبة للنقطة O.
📝 نشاطأطبق 3
لاحظ الرسم المقابل حيث الدائرتان (C) و (C') متقايستان و متماستان في النقطة O
انقل ما يلي و أتمم الفراغ بما يناسب :
مناظرة النقطة I بالنسبة إلى O هي ..........
مناظرة الدائرة (C) بالنسبة إلى Δ هي .....
مناظرة الدائرة (C') بالنسبة إلى Δ' هي .....
مناظرة الدائرة (C) بالنسبة إلى O هي ....
5 المحافظة على المساحات
📝 نشاطنشاط
أ) انقل الرسم المقابل على كراسك
ثمّ ابن (C') و (F') مناظرتي (C) و (F) على التوالي بالنسبة إلى O
ب) قارن بين مساحتي (C) و (C')
ثمّ قارن مساحتي (F) و (F').
(انظر الشبكة في الكتاب ص 178)
⭐ خاصية
شكلان هندسيان ( E ) و( E' ) متناظران بالنسبة إلى نقطة O هما متقايسان إذن لهما نفس المساحة.
📝 نشاطأطبق 1
ارسم مثلثا ABC قائما في A حيث AB=3cm و AC=5cm
ابن النقطتين D و E مناظرتي النقطتين B و C على التوالي بالنسبة إلى A.
قارن أضلاع المثلثات ADE و ADC و ABE.
ما هي مساحة المثلث ABC ؟
استنتج مساحة الرباعي BCDE.
👣 مثال محلولحلّ «أطبق 1» ص 178
ABC قائم في A ، AB=3 ، AC=5 ، و D و E مناظرتا B و C بالنسبة إلى A
📝 نشاطأطبق 2
أ) انقل الرسم التالي على كراسك و أتممه بحيث يكون الشكلان (F) و (F') متناظرين بالنسبة إلى النقطة I
ب) احسب مساحة كلّ من الشكلين (F) و (F').
(انظر الشكل في الكتاب ص 179 : نصف دائرة شعاعها 2cm ، والمثلث القائم A'B'C' حيث A′C′=1cm .)
III مركز تناظر أشكال هندسية
📝 نشاطنشاط
أ) انقل الشكل F على كراسك.
لاحظ أنّ مناظرة النقطة B بالنسبة إلى O هي النقطة G التي تنتمي إلى F
ب) هل أنّ نفس الملاحظة تنطبق على النقاط الأخرى ومناظراتها بالنسبة إلى O ؟
ج) عيّن نقاطًا أخرى على F وابن مناظراتها بالنسبة إلى O .
د) ماذا تستنتج ؟
📌 تعريف
تمثّل نقطة O مركز تناظر شكل هندسي إذا انطبق هذا الشكل على مناظره بالنسبة إلى النقطة O
📝 نشاطأطبق
من بين الأشكال التالية : ما هي التي لها مركز تناظر ؟ حدّده.
(انظر الأشكال الثمانية في الكتاب ص 179 : من بينها مثلث، ومستطيل، ومعيّن، وقطعة مستقيم…)
❓ سؤال
👣 مثال محلولتمرين مرفق بحل 1
لاحظ الشكل المقابل حيث M' و N' مناظرتي النقطتين M و N بالنسبة إلى Δ و N و P مناظرتي M و M' بالنسبة إلى O
1) ما هو مناظر المستقيم (MM') بالنسبة إلى O؟
2) بيّن أنّ (MM') موازٍ لـ (NN')
3) استنتج أنّ النقاط N و N' و P على استقامة واحدة.
👣 مثال محلولتمرين مرفق بحل 2
نعتبر OAB مثلثا قائم الزاوية في A و C الدائرة التي مركزها O والمارّة من A
1) بيّن أنّ المستقيم (AB) مماس للدائرة C في A
2) ابن النقطة D مناظرة B بالنسبة إلى A و النقاط A' و B' و D' مناظرات A و B و D على التوالي بالنسبة إلى O.
3) بيّن أنّ A' منتصف [B′D′]
4) ما هي الوضعية النسبية للمستقيم (A'B') و الدائرة C؟ علّل جوابك.
سرّ سريع : M(x , y)
🔄 بالنسبة إلى O : نغيّر العلامتين ← (−x,−y)
🪞 بالنسبة إلى (OI) : نغيّر الترتيبة فقط ← (x,−y)
🪞 بالنسبة إلى (OJ) : نغيّر الفاصلة فقط ← (−x,y)
IV التناظر و التعيين:
📝 نشاطنشاط
لاحظ الرسم التالي حيث (O, I, J) معين في المستوي (OI)⊥(OJ) و OI=OJ=1cm
لتكن النقاط A و B و C كما يوضّح الشكل المصاحب.
1) حدّد إحداثيات كلّ من النقاط الموجودة في الرسم وفق المعين (O,I,J)
2) أ) حدّد مناظرات النقاط I و B و C بالنسبة إلى (OI)
ب) ماذا تلاحظ بالنسبة إلى فاصلة كلّ نقطة من النقاط I و B و C و فاصلة مناظرتها بالنسبة إلى (OI) و كذلك ترتيبة كلّ نقطة من النقاط المذكورة سابقا و ترتيبة مناظرتها بالنسبة إلى (OI)
ج) عيّن النقطتين R(3,12) و S(3,−12) . ماذا تلاحظ بالنسبة إلى إحداثيتيهما؟ تحقّق أنّهما متناظرتان بالنسبة إلى (OI)
3) أ) حدّد مناظرتي النقاط J و A بالنسبة إلى (OJ)
ب) ماذا تلاحظ بالنسبة إلى فاصلة كلّ نقطة من النقاط J و A و B و فاصلة مناظرتها بالنسبة إلى (OJ) و كذلك ترتيبة كلّ نقطة من النقاط المذكورة سابقا و ترتيبة مناظرتها بالنسبة إلى (OJ)
ج) عيّن النقطتين P(−32,−12) و Q(32,−12) . ماذا تلاحظ بالنسبة إلى إحداثيتيهما؟ تحقّق أنّهما متناظرتان بالنسبة إلى (OJ)
4) أ) حدّد مناظرات النقاط B و A و C بالنسبة إلى O
ب) ماذا تلاحظ بالنسبة إلى فاصلة كلّ نقطة من النقاط B و A و C و فاصلة مناظرتها بالنسبة إلى O و كذلك ترتيبة كلّ نقطة من النقاط المذكورة سابقا و ترتيبة مناظرتها بالنسبة إلى O
ج) عيّن النقطتين G(−2,52) و H(2,−52) . ماذا تلاحظ بالنسبة إلى إحداثيتيهما؟ تحقّق أنّهما متناظرتان بالنسبة إلى O.
📌 تعريف
كلّ ثلاثي نقط (O, I, J) حيث (OI) عمودي على (OJ) يُسمّى معينا متعامدا في المستوي.
●النقطة O تُسمّى أصل المعين
●المستقيم (OI) يُسمّى محور الفواصل.
●المستقيم (OJ) يُسمّى محور الترتيب.
●المستقيمان (OI) و (OJ) هما محورا الإحداثيات.
●لكلّ زوج من الأعداد الكسريّة (x,y) نسند نقطة وحيدة M من المستوي ونكتب M(x,y) و نقرأ النقطة M ذات الإحداثيات (x,y)
⭐ خاصية
إذا كان (O,I,J) معينا متعامدا في المستوي وإذا كان الزوج الكسري (x,y) إحداثيات النقطة M فإنّ :
مناظرتها بالنسبة إلى (OI) هي النقطة M' إحداثياتها (x,−y)
مناظرتها بالنسبة إلى (OJ) هي النقطة M'' إحداثياتها (−x,y)
– مناظرتها بالنسبة إلى النقطة O هي النقطة M''' إحداثياتها (−x,−y)
🎮 لعبة🗺️ لعبة : أين مناظرة M ؟
في كلّ مهمّة تظهر النقطة M باللون الأزرق : انقر على مناظرتها في المعيّن (بالنسبة إلى O أو إلى أحد المحورين الملوّن بالأخضر).
أطبق
📝 نشاطأطبق 1
ليكن (O, I, J) معينا متعامدا في المستوي حيث OI=OJ
و النقاط A(1,3) وB(−3,2) و C(2,4).
أ) ابحث عن إحداثيات كلّ من النقاط A' وB' وC' مناظرات النقاط A وB وC بالنسبة إلى المحور (OI)
ب) ابحث عن إحداثيات كلّ من النقاط A" وB" وC" مناظرات النقاط A' وB' وC' بالنسبة إلى المحور (OJ)
ج) ابحث عن إحداثيات مناظرات النقاط A و B و C بالنسبة إلى O
د) ماذا تستنتج ؟
❓ سؤال
📝 نشاطأطبق 2
ليكن (O, I, J) معيّنا متعامدا في المستوي حيث OI=OJ والنقطة A(73,−2) .
ماذا تستنتج بالنسبة إلى النقطتين A و B في كلّ حالة من الحالات التالية:
أ) B(−73,−2) ، ب) B(73,2) ، ج) B(−73,2) ، د) B(−2,73) .
❓ سؤال
👣 مثال محلولتمرين مرفق بحل 3
ليكن (O, I, J) معينا متعامدا في المستوي .
أ) عيّن النقطتين A (2,3) و B (2,-3). بيّن أن المثلث OAB متقايس الضلعين.
ب) نعتبر النقطة C مناظرة النقطة A بالنسبة للنقطة O. حدّد إحداثياتها.
بيّن أنّ المثلث ABC قائم.
ج) حدّد إحداثيات النقطة D بحيث الرباعي ABCD يكون مستطيلا.
⭐ خاصيةأحوصل
• لتكن O نقطة من المستوي. M نقطة مختلفة عن O. تكون النقطة M' مناظرة للنقطة M بالنسبة إلى O إذا كانت O منتصف [MM′] ، ومناظرة النقطة O بالنسبة إلى O هي النقطة O نفسها.
• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم موازٍ له. إذا كان (AB) مستقيما فإنّ مناظر (AB) بالنسبة إلى O هو المستقيم (A'B') حيث A' و B' مناظرتي A و B على التوالي بالنسبة إلى O.
• مناظر نصف مستقيم بتناظر مركزي هو نصف مستقيم : إذا كان [AB) نصف مستقيم فإنّ مناظره بالنسبة إلى O هو نصف المستقيم [A′B′)
• مناظرة قطعة مستقيم بتناظر مركزي هي قطعة مستقيم مقايسة لها : مناظرة [AB] بالنسبة إلى O هي القطعة [A′B′] و لدينا A′B′=AB
• التناظر المركزي يحافظ على البعد.
• التناظر المركزي يحافظ على الاستقامة : مناظرات ثلاث نقاط على استقامة واحدة بالنسبة إلى نقطة O هي ثلاث نقاط على استقامة واحدة.
• التناظر المركزي يحافظ على المنتصف : مناظر منتصف قطعة مستقيم بالنسبة إلى النقطة O هو منتصف مناظر تلك القطعة
• مناظرة زاوية بالنسبة إلى نقطة من المستوي هي زاوية مقايسة لها. التناظر المركزي يحافظ على أقيسة الزوايا : مناظرة الزاوية BAC هي الزاوية B′A′C′ و BAC=B′A′C′ .
• مناظرة دائرة بالنسبة إلى نقطة من المستوي هي دائرة مقايسة لها : مناظرة دائرة C مركزها I بالنسبة إلى نقطة O هي دائرة C' مركزها I' مناظرة النقطة I ولها نفس الشعاع.
• التناظر المركزي يحافظ على المساحات : شكلان هندسيان (E) و (E') متناظران بالنسبة إلى نقطة O هما متقايسان ولهما نفس المساحة.
• نقطة O هي مركز تناظر شكل F من المستوي يعني أنّ مناظر F هو الشكل F نفسه بالنسبة إلى O.
• إذا كان (O,I,J) معينا في المستوي حيث (OI) و (OJ) متعامدان وإذا كان الزوج الكسري (x,y) إحداثيات النقطة M فإنّ : مناظرتها بالنسبة إلى (OI) هي النقطة M' إحداثياتها (x,−y) ، ومناظرتها بالنسبة إلى (OJ) هي النقطة M'' إحداثياتها (−x,y) ، ومناظرتها بالنسبة إلى النقطة O أصل المعيّن هي النقطة M''' إحداثياتها (−x,−y)
استعمل ما تعلّمته : التناظر المركزي يحفظ كلّ شيء (الأبعاد والزوايا والمساحات)… ولا تنسَ تحدّي السرعة في آخر التمارين ⏱️
تمارين
📝 نشاطتمرين 1
أ) ارسم قطعة مستقيم [AB] حيث AB=8cm
ب) ابن النقاط I و J وK منتصفات قطع المستقيمات [AB] و [AI] و [IB] على التوالي
ج) انقل الجمل التالية على كراسك ثمّ أتمم الفراغات بما يناسب.
النقطة ...... مناظرة النقطة ....... بالنسبة إلى I
النقطتان J وK متناظرتان بالنسبة إلى ........
النقطة B مناظرة النقطة I بالنسبة إلى ........
النقطتان .... و...... متناظرتان بالنسبة إلى J
📝 نشاطتمرين 2
أ) انقل الشكل التالي على كراسك حيث ABC مثلث وA' نقطة من المستوي ثمّ ابن النقطة O منتصف [AA′]
ب) أكمل بناء مناظر المثلث ABC بالنسبة إلى O.
📝 نشاطتمرين 3
انقل كل شكل من الشكلين التاليين على كراسك ثمّ ارسم مناظره بالنسبة إلى النقطة I ثمّ بالنسبة إلى المستقيم (d).
(انظر الشكلين في الكتاب ص 188)
📝 نشاطتمرين 4
يمثل الشكل التالي مثلثا ABC قائم الزاوية في A حيث BC=4cm و BCA=60° وO نقطة من المستوي.
1) ارسم الشكل على كراسك ثمّ ابن النقاط A' وB' وC' مناظرات A وB وC على التوالي بالنسبة إلى O
2) ما هو قيس كلّ من الزوايا B′A′C′ و B′C′A′ و A′B′C′ ؟ علّل جوابك.
3) ما هو البعد B'C' ؟ علّل جوابك.
❓ سؤال
📝 نشاطتمرين 5
1) ارسم مثلثا ABC حيث BC=6cm وAB=3cm و CBA=80° ثمّ عيّن النقطة I منتصف [AC].
2) ابن النقطة B' مناظرة النقطة B بالنسبة إلى I.
3) ما هي طبيعة الرباعي BAB'C ؟ علّل جوابك.
4) احسب قيس الزاوية CB′A ومحيط الرباعي BAB'C .
❓ سؤال
📝 نشاطتمرين 6
أ) ارسم مربعا EFGH حيث EF=3 cm
ب) عيّن النقطة O من نصف المستقيم [EF) حيث EO=5 cm
ج) ابن النقاط E' وF' وG' وH' مناظرات E وF وG وH على التوالي بالنسبة إلى O
د) بيّن أنّ الرباعي E'F'G'H' مربّع. ما هو محيطه ؟
📝 نشاطتمرين 7
أ) ارسم قطعة مستقيم [AB] وابن المستقيم Δ الموسّط العمودي لـ [AB]
ب) عيّن نقطة K من Δ لا تنتمي لـ [AB]
ج) ابن النّقطتين K' وB' مناظرتي K وB على التّوالي بالنّسبة إلى A
د) استنتج أنّ المثلّث AK'B' متقايس الضّلعين
📝 نشاطتمرين 8
أ) ارسم مثلثا ABC ثمّ ابن النّقطتين B' وC' مناظرتي B وC بالنّسبة إلى A
ب) ابن النقطة C'' مناظرة النّقطة C' بالنّسبة إلى (AB)
ج) بين أنّ B′C′′=BC.
📝 نشاطتمرين 9
أ) ابن مثلثا ABC حيث BC=7cm و AC=8cm و AB=4,5cm
ب) ابن النقطة O حيث تكون B مناظرة لـ C بالنسبة إلى O
ج) ابن النقطة M مناظرة A بالنسبة إلى O
د) ابن المثلث RBC مناظر المثلث ABC بالنسبة إلى المستقيم (BC). ما هو محيطه ؟
ه) بيّن دون حساب أنّ المثلثين MCB وBRC لهما نفس المحيط ونفس المساحة.
📝 نشاطتمرين 10
أ) ارسم معيّنا متعامدا (O, I, J)
ب) لتكن النقط A(3,−2) وB(0,−4) وC(−3,−2) وD(3,2) وE(0,4) و F(5,0) وG(−5,0).
اذكر من بين هذه النقاط :
–كلّ نقطتين متناظرتين بالنسبة إلى (OI)
–كلّ نقطتين متناظرتين بالنسبة إلى (OJ)
–كلّ نقطتين متناظرتين بالنسبة إلى O
❓ سؤال
📝 نشاطتمرين 11
أ) انقل على ورقة مليمتريّة المعيّن (O,I,J) والنقطتين A وC
ب) حدّد إحداثيات كلّ من A وC
ج) ارسم المربّع ABCD وحدّد إحداثيات النقطتين B وD.
(انظر الشكل في الكتاب ص 190)
📝 نشاطتمرين 12
أ) تأمّل الرسم المقابل حيث (O, I, J) معيّنا
ب) ما هي إحداثيات النقاط E وF وG
ج) حدّد إحداثيات مناظرات النقاط E وF وG بالنسبة إلى (OI) ثمّ بالنسبة إلى (OJ) ثمّ بالنسبة إلى O.
د) انقل الرسم على كراسك وقم بتعيين تلك النقاط.
📝 نشاطتمرين 13
أ) ارسم دائرة C مركزها I و M نقطة منها.
ب) ابن الدائرة C' مناظرة C بالنسبة إلى النقطة M . ليكن I' مركزها.
ج) ارسم الدائرة Γ التي قطرها [II′] . هل أنّ الشكل المتحصّل عليه له مركز تناظر؟ له محور تناظر؟
📝 نشاطتمرين 14
تأمّل الشكل المقابل وحدّد مركز تناظر له.
(انظر الشكل في الكتاب ص 191)
📝 نشاطتمرين 15
أ) انقل الشكل المقابل على كراسك ثمّ ارسم مناظره بالنسبة إلى I
ب) احسب بـ cm2 المساحة الجمليّة للشكل النهائي (بقيمة تقريبيّة لجزء من المائة)
(انظر الشكل في الكتاب ص 191 : الأبعاد المكتوبة 2,5 cm .)
📝 نشاطتمرين 16
هل يوجد تناظر محوري أو مركزي يسمح بتحويل :
الشكل F1 إلى الشكل F2 ؟ الشكل F1 إلى F3 ؟
الشكل F1 إلى F4 ؟ الشكل F2 إلى F4 ؟
(انظر الأشكال في الكتاب ص 191)
📝 نشاطتمرين 17
1) ارسم مستقيمين متوازيين Δ و Δ'
2) أ) عيّن نقطة A من Δ ونقطة B من Δ' ثمّ ابن النقطة I منتصف القطعة [AB]
ب) بيّن أنّ Δ مناظر Δ' بالنسبة إلى I
3) أ) عيّن نقطة C من Δ مخالفة لـA ونقطة D من Δ' مخالفة لـ B و J منتصف القطعة [CD]
ب) بيّن أنّ Δ مناظر Δ' بالنسبة إلى J .
4) كم من تناظر مركزي يمكّن من تحويل المستقيم Δ إلى Δ'؟
📝 نشاطتمرين 18
تأمّل الشكل المقابل حيث المستقيمان Δ و δ متوازيان ثمّ حدد مركز تناظره معللا جوابك.
(انظر الشكل في الكتاب ص 192 : المستقيم (D) يقطع Δ و δ .)
📝 نشاطتمرين 19
أ) ارسم دائرة C مركزها O وشعاعها 3cm و [AB] قطرا لها ثمّ عيّن نقطة I من C.
ب) ابن النقطتين A' وB' مناظرتي النقطتين A وB على التوالي بالنسبة إلى I
ج) ابن الدائرة C' المحيطة بالمثلث A'B'I. ليكن O' مركزها.
د) بيّن أنّ مناظرة C بالنسبة إلى I هي C'.
ه) بيّن أنّ النقطة O' هي منتصف [A′B′].
أ) ارسم متوازي الأضلاع ABCD مركزه O ومستقيما Δ يمرّ من O. Δ يقطع على التوالي المستقيمات (AB) و(BC) و(CD) و(DA) في النقاط M وN وP وQ.
ب) ما هما منتصفا القطعتين [MP] و [NQ] ؟ علّل جوابك.
📝 نشاطتمرين 20
يمثّل الشكل التالي طاولة البلياردو و الخطّ الأحمر مسار الكرة والنقاط A وB وC هي مواقع ارتدادها
أ) حدّد إحداثياتها.
ب) انقل المعيّن (O,I,J) والنقاط A وB وC على كراسك.
ج) لنفترض أنّ الكرة لا تتوقّف عن الارتداد. ما هي إحداثيات النقاط التالية :
– D موقع الارتداد السابع
– E موقع الارتداد عدد 15
– F موقع الارتداد عدد 38
– G موقع الارتداد عدد 158
(انظر الشكل في الكتاب ص 193)
📝 نشاطتمرين 21
ابحث عن الأخطاء الأربعة في الشكل التالي علما وأنّ النقطة A مركز تناظره.
(انظر الشكل في الكتاب ص 193)
📝 نشاطأوظّف تقنيات المعلومات والاتّصال
أنشطة حول التناظر المركزي بواسطة البرمجيّة geoGebra التي يمكن تحميلها من الموقع https://www.geogebra.org عبر الإنترنت
1. ارسم الرّباعي ABCD
2. عيّن نقطة من المستوي وسمّيها O
3. أنشئ مناظرات النقاط A وB و C وD بالنسبة إلى O وسمِّها على التوالي A' وB' وC' وD'
4. أنشئ الرباعي A'B'C'D'
قم بتحريك النقطة A بواسطة الفأرة. ماذا تلاحظ بالنسبة إلى النقطة O ؟
أظهر طول القطعة [AA′] على الشاشة و قم بتحريك النقطة A. ماذا تلاحظ ؟
ماذا تمثّل النقطة O بالنسبة إلى [AA′]؟
أكمل : إذا كانت النقطة A' مناظرة النقطة A بالنسبة إلى O يعني ........................
أظهر طول القطعة [AB] على الشاشة وقم بتحريك النقطتين A وB. ماذا تلاحظ بالنسبة إلى [A′B′]؟
أظهر على الشاشة قيس الزاويتين ABC وA′B′C′ وقم بتحريك النقاط A وB وC. ماذا تلاحظ ؟
أكمل : التناظر المركزي يحافظ على .....................
ارسم المستقيم (AB). ارسم المستقيم المار من A' و الموازٍ لـ (AB). ماذا تلاحظ ؟
أكمل : مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو .............
5. عيّن النقطة O خارج الرباعي ABCD. هل توجد نقاط من المستوي مناظرة لنفسها بالنسبة إلى O ؟
6. عيّن النقطة O داخل الرباعي ABCD. هل توجد نقاط من المستوي مناظرة لنفسها بالنسبة إلى O ؟
💡 ملاحظة
💡 الشكل التفاعلي «جرّب : التناظر المركزي = نصف دورة حول O» في أوّل الدرس يعمل مثل geoGebra : اسحب النقاط ولاحظ ما يحفظه التناظر المركزي.
🎮 لعبة⏱️ تحدّي التناظر : 10 أسئلة في 90 ثانية!
أجب بسرعة. تحتاج 6 إجابات صحيحة للفوز 🚦
حصيلتك
أجب عن أسئلة الدرس لتظهر حصيلتك هنا.
🏆 لوحة الأبطال
هذه أوسمتك! اجمعها كلّها بحلّ الأسئلة والألعاب، ثمّ اطبع شهادتك.
أسئلة شائعة حول التناظر المركزي
ما هو التناظر المركزي؟
التناظر المركزي هو التناظر بالنسبة إلى نقطة O تسمّى مركز التناظر. تكون النقطة M' مناظرة للنقطة M بالنسبة إلى O إذا كانت O منتصف القطعة [MM']، ومناظرة النقطة O هي O نفسها. ويعني ذلك عمليًا إدارة الشكل نصف دورة حول O.
ما الفرق بين التناظر المركزي والتناظر المحوري؟
في التناظر المحوري يكون المستقيم Δ الموسّط العمودي للقطعة [MM']، أمّا في التناظر المركزي فتكون النقطة O منتصف [MM']. الأوّل يشبه المرآة، والثاني يشبه نصف دورة حول نقطة.
ماذا يحفظ التناظر المركزي؟
التناظر المركزي يحافظ على الاستقامة والبعد والمنتصف وأقيسة الزوايا والمساحات، ومناظر مستقيم هو مستقيم موازٍ له، ومناظرة دائرة هي دائرة لها نفس الشعاع ومركزها مناظر المركز.
ما إحداثيات مناظرة نقطة M(x, y) في معيّن متعامد؟
مناظرتها بالنسبة إلى محور الفواصل (OI) هي (x, −y)، وبالنسبة إلى محور التراتيب (OJ) هي (−x, y)، وبالنسبة إلى الأصل O هي (−x, −y). مثال: مناظرة B(−3, 2) بالنسبة إلى O هي (3, −2).
ما هي الأشكال التي لها مركز تناظر؟
من الأشكال التي لها مركز تناظر: قطعة المستقيم (منتصفها)، والدائرة (مركزها)، ومتوازي الأضلاع والمستطيل والمعيّن والمربّع (نقطة تقاطع القطرين). أمّا المثلث فليس له مركز تناظر.
دروس تفاعلية أخرى
- العمليات على الأعداد الصحيحة النسبيةالثامنة أساسي
- مجموعة الأعداد الصحيحة النسبيةالثامنة أساسي
- التعامد والتوازيالسابعة أساسي
- أنشطة في الجبر والتناسب الطرديالسابعة أساسي
- القواسم والمضاعفاتالسابعة أساسي
- مجموعة الأعداد الحقيقية IRالتاسعة أساسي
- العمليات في مجموعة الأعداد الحقيقيةالتاسعة أساسي
- حساب مساحة المثلثالقانون ولماذا نقسم على 2
- مقارنة الأعداد الكسريةتوحيد المقامات ومختبر الكسور
فروض وموارد للسنة الثامنة أساسي
- فروض الرياضيات 8 أساسيالثلاثي الأول
- فروض الرياضيات 8 أساسيالثلاثي الثاني
- فروض الرياضيات 8 أساسيالثلاثي الثالث
- الكتب المدرسية للرياضيات PDFكتاب الثامنة أساسي
هل لديك سؤال حول الدرس؟ اكتبه في التعليقات 💬
